Εντυπωσιακή συνευθειακότητα

[KARKAR]

Εντυπωσιακή συνευθειακότητα.png (18.95 KiB) Προβλήθηκε 1031 φορές

Το τμήμα που συνδέει σημείο , το οποίο κινείται στην προέκταση της πλευράς ορθογωνίου

τριγώνου , με το μέσο της πλευράς , τέμνει την υποτείνουσα στο σημείο .

Το ημικύκλιο διαμέτρου τέμνει την στο σημείο και την στο σημείο .

α) Δείξτε ότι τα σημεία : , είναι συνευθειακά .

β) ( Προαιρετικό ) : Αν : , για ποια θέση του , προκύπτει : ;

[S.E.Louridas]

Το τμήμα που συνδέει σημείο , το οποίο κινείται στην προέκταση της πλευράς ορθογωνίου τριγώνου , με το μέσο της πλευράς , τέμνει την υποτείνουσα στο σημείο .
Το ημικύκλιο διαμέτρου τέμνει την στο σημείο και την στο σημείο .
α) Δείξτε ότι τα σημεία : , είναι συνευθειακά .
β) ( Προαιρετικό ) : Αν : , για ποια θέση του , προκύπτει : ;

α) Έστω το σημείο τομής των εφαπτομένων του κύκλου στα σημεία Το σημείο θα ταυτίζεται με το λόγω του ορθογωνίου

τριγώνου Καταρχάς βλέπουμε ότι το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου και βέβαια προκύπτει στοιχειωδώς ότι

Ονομάζουμε το σημείο τομής των και παρατηρούμε ότι

που αυτό οδηγεί στο ότι τα σημεία

είναι συνευθειακά.

equevalend.png (25.97 KiB) Προβλήθηκε 939 φορές

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Εντυπωσιακή συνευθειακότητα.pngΤο τμήμα που συνδέει σημείο , το οποίο κινείται στην προέκταση της πλευράς ορθογωνίου

τριγώνου , με το μέσο της πλευράς , τέμνει την υποτείνουσα στο σημείο .

Το ημικύκλιο διαμέτρου τέμνει την στο σημείο και την στο σημείο .

α) Δείξτε ότι τα σημεία : , είναι συνευθειακά .

β) ( Προαιρετικό ) : Αν : , για ποια θέση του , προκύπτει : ;

Οι τέμνουν την εκ του παράλληλη προς την στα αντίστοιχα και προφανώς ομοκυκλικά

Άρα .

Οι συγκλίνουν στο και σύμφωνα με θ.κ.δέσμης ισχύει



Επομένως συνευθειακά

εντυπωσιακή συνευθειακότητα.png (57.49 KiB) Προβλήθηκε 926 φορές

[Doloros]

Εντυπωσιακή συνευθειακότητα.pngΤο τμήμα που συνδέει σημείο , το οποίο κινείται στην προέκταση της πλευράς ορθογωνίου

τριγώνου , με το μέσο της πλευράς , τέμνει την υποτείνουσα στο σημείο .

Το ημικύκλιο διαμέτρου τέμνει την στο σημείο και την στο σημείο .

α) Δείξτε ότι τα σημεία : , είναι συνευθειακά .

β) ( Προαιρετικό ) : Αν : , για ποια θέση του , προκύπτει : ;

Ας είναι το σημείο τομής των χορδών . Τότε το , είναι το ορθόκεντρο του κι έτσι η ευθεία .

Η πιο πάνω ευθεία ( ας την πούμε ) , τέμνει την στο Η πολική του διέρχεται από το σημείο τομής των δηλ. το .

Συνεπώς () η πολική του θα διέρχεται από το . Η πολική όμως του διέρχεται από το .

Δηλαδή η πολική του είναι η και η πολική του είναι η . Για κάθε σημείο της ευθείας η πολική του θα διέρχεται από το .

Μένει να βρω τίνος σημείου της η πολική θα διέρχεται από τα , οπότε θα διέρχεται κι από το

Εντυπωσιακη συνευθειακότητα.png (12.14 KiB) Προβλήθηκε 847 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο η είναι το μισό της υποτείνουσας , δηλαδή , .

Άρα η είναι το άλλο εφαπτόμενο τμήμα προς το ημικύκλιο . Ας είναι το σημείο τομής των .

Αφού όμως το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου το είναι το κέντρο και συνεπώς

Τα είναι τα εφαπτόμενα τμήματα στο ημικύκλιο από το Η ευθεία είναι η χορδή των επαφών .

Δηλαδή είναι η πολική του άρα διέρχεται από το .


Θα δώ και το προαιρετικό .

[Mihalis_Lambrou]

Το τμήμα που συνδέει σημείο , το οποίο κινείται στην προέκταση της πλευράς ορθογωνίου

τριγώνου , με το μέσο της πλευράς , τέμνει την υποτείνουσα στο σημείο .

Το ημικύκλιο διαμέτρου τέμνει την στο σημείο και την στο σημείο .

α) Δείξτε ότι τα σημεία : , είναι συνευθειακά .

.
Αλλιώς, και μάλιστα μία γενίκευση ως εξής:

Σε τρίγωνο παίρνουμε τρεις συγκλίνουσες σεβιανές, τις . H είναι παράλληλη της και το μέσον της . Aν η τέμνει την στο , δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.

Απόδειξη: Από τις σεβιανές στο έχουμε (πήγα τον ένα όρο στο άλλο μέλος).

Από το Θεώρημα του Μενελάου στο με διατέμνουσα την έχουμε

(λόγω παραλληλίας).

Έστω ότι η τέμνει την στο . Από το Θεώρημα του Μενελάου στο με διατέμνουσα την έχουμε



Αλλά από την τα δεξιά μέλη των δύο τελευταίων είναι ίσα. Άρα . Έπεται ότι τα συμπίπτουν, από όπου το ζητούμενο.
.

[vittasko]

Ας δούμε μία άλλη προσέγγιση η οποία ισχύει και στην προηγούμενη γενίκευση του Μιχάλη.

Έστω το σημείο

Θεωρούμε την δέσμη η οποία τέμνεται από την ευθεία και από και έχουμε ότι η δέσμη αυτή είναι αρμονική.

Η ίδια δέσμη τέμνεται από την ευθεία και επομένως η σημειοσειρά είναι αρμονική.

Από το πλήρες τετράπλευρο τώρα, συμπεράινεται ότι ή ευθεία περνάει από σημείο αρμονικό συζυγές του σημείου ως προς τα σημεία και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας