Ισεμβαδικότητα και ισοτομικοί κύκλοι

sakis1963 · #1

: 2023.05.09.FB12502 mathematica.jpg (34.01 KiB) Προβλήθηκε 539 φορές

Κυκλος

, που εφάπτεται στη

στο μέσον της

και εξωτερικά του τριγώνου ABC

, τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του στα D, F

Οι

επανατέμνουν τον (w)

στα

αντίστοιχα.

Αν $Q\equiv EM\cap AC, P\equiv GM \cap AB$ και $U\equiv PG \cap AC, V\equiv QE \cap AB$ , δείξτε ότι:

i. τα τρίγωνα APE, AQG

είναι ισεμβαδικά

ii. οι κύκλοι $\bigodot MUV, \bigodot PQM$ είναι ισοτομικοί επί την

δηλ. αποκόπτουν ίσα τμήματα επί της

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Κατ' αρχάς ωραίο πρόβλημα! Θα παραθέσω μια λύση για το πρώτο ερώτημα.

Θα προηγηθούν όμως δυο ερωτήσεις για το δεύτερο:
#1. Ποιο σημείο είναι το

? (εκεί που λέτε "κύκλος POM

")
#2. Μπορείτε αναλύσετε την έννοια "κύκλοι ισοτομικοί επί ευθείας"?

Το google με input το "ισοτομικοί" βγάζει δυο αποτελέσματα:
η μια είναι η παρούσα άσκηση και η άλλη είναι η πρώτη σελίδα του

Ενώ με input το "isotomic" συναντά κανείς τις έννοιες "isotomic conjugate/transform"
που ορίζονται όμως ως προς δοθέν τρίγωνο και όχι ευθεία
(https://en.wikipedia.org/wiki/Isotomic_conjugate)

Παρ' όλα αυτά προέβην στην εικασία μήπως ο ένας κύκλος είναι ισοτομικός μετασχηματισμός του άλλου ως προς το $\triangle ABC$ αλλά δεν φαίνεται να ισχύει κάτι τέτοιο γιατί:
$\bullet$ ο ισοτομικός μετασχηματισμός σέβεται το εσωτερικό του τριγώνου ως προς το οποίο ορίζεται ( $\triangle ABC$ )
$\bullet$ ο κύκλος από τα M,U,V

γίνεται να είναι (για AB=AC

) εξωτερικά εφαπτόμενος του $\triangle ABC$
$\bullet$ ενώ κάθε κύκλος που θα διέρχεται από τα P,M

σίγουρα θα έχει κοινά σημεία με το εσωτερικό του $\triangle ABC$

ΛΥΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑ

Θα ισχύουν οι εξής ισότητες DM=MF

και

Από τη

έχουμε $\angle BAD=\angle CAF$ (1) και συνεπώς $\angle PAG=\angle EAQ$ (2)

Είναι $\angle AGP=\angle GMF+\angle GFM=\angle MEF=\angle DEM=\angle AEQ$ (3)

Από (2,3) έχουμε $\triangle APG\sim \triangle AQE$ από το οποίο $\dfrac{AP}{AQ}=\dfrac{AG}{AE}$ ή $AP\cdot AE=AQ\cdot AG$
οπότε από την (1) έχουμε (APE)=(AQG)

$\blacksquare$

Ισεμβαδικότητα και ισοτομικοί κύκλοι

Ισεμβαδικότητα και ισοτομικοί κύκλοι

Re: Ισεμβαδικότητα και ισοτομικοί κύκλοι

Μέλη σε σύνδεση