Κατασκευή με μέσο

KARKAR · #1

: Κατασκευή με μέσο.png (14.55 KiB) Προβλήθηκε 573 φορές

Ευθεία $\epsilon$ εφάπτεται κύκλου (O)

σε σημείο

. Σχεδιάστε χορδή

, παράλληλη στην $\epsilon$ ,

τέτοια ώστε αν η εφαπτομένη του κύκλου στο

τέμνει την $\epsilon$ στο

και η προέκταση

της

τέμνει την $\epsilon$ στο

, το

να είναι το μέσο του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 13, 2024 9:32 am
Κατασκευή με μέσο.pngΕυθεία $\epsilon$ εφάπτεται κύκλου σε σημείο . Σχεδιάστε χορδή , παράλληλη στην $\epsilon$ ,

τέτοια ώστε αν η εφαπτομένη του κύκλου στο τέμνει την $\epsilon$ στο και η προέκταση

της τέμνει την $\epsilon$ στο , το να είναι το μέσο του τμήματος .

: Κατασκευή με μέσο_Κατασκευή.png (30.41 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές

Ο κύκλος και το ημικύκλιο $\Omega$ τέμνονται ορθογώνια και η διάμετρος

διαιρείται αρμονικά από το, $\Omega$ .

Έτσι προκύπτει : $\boxed{x = 2y \Rightarrow y = \dfrac{r}{3}}$ . Στον ομόκεντρο κύκλο $\left( {O,\dfrac{r}{3}} \right)$ φέρνω την εφαπτομένη στο

, χορδή $AB//\varepsilon$ .

Πιο βράδυ θα γράψω πλήρη ανάλυση ,

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 13, 2024 9:32 am
Κατασκευή με μέσο.pngΕυθεία $\epsilon$ εφάπτεται κύκλου σε σημείο . Σχεδιάστε χορδή , παράλληλη στην $\epsilon$ ,

τέτοια ώστε αν η εφαπτομένη του κύκλου στο τέμνει την $\epsilon$ στο και η προέκταση

της τέμνει την $\epsilon$ στο , το να είναι το μέσο του τμήματος .

Έστω λυμένο το πρόβλημα

Ας είναι

το αντιδιαμετρικό του

. Επειδή , MS = MB = MT

τα

ανήκουν σε ημικύκλιο , $\Omega \,\,,$ διαμέτρου

.

Αφου δε $\widehat {KBS} = \widehat {SBT} = 90^\circ$ ( βαίνουν σε ημικύκλια ) τα σημεία K,B,T

ανήκον στην ίδια ευθεία .

Έστω

το μέσο της χορδής

. Επειδή $OB \bot MB$ , το ημικύκλιο $\Omega$ και ο κύκλος $\left( {O,r} \right)$ είναι ορθογώνιοι.

Αν λοιπόν το ημικύκλιο υ=τέμνει τη διάμετρο , $\overline {AOF}$ στο

η τετράδα : $\left( {A,F\backslash E,T} \right)$ είναι αρμονική .

: Κατασκευή με μέσο.png (27.43 KiB) Προβλήθηκε 515 φορές

Θέτω $ON = y \Rightarrow BF = 2y$ και με EF = x

έχω

γιατί η

είναι η εσωτερική διχοτόμος στο $\vartriangle SET$ .

Επειδή λόγω κεντρικής δέσμης , KO = OS

θα είναι : $BF = FZ \Rightarrow x = 2y\,\,\left( 1 \right)$ . Αλλά $OF = r \Rightarrow x + y = r\,\,\,\left( 2 \right)$ . Από τις $\left( 1 \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\left( 2 \right)$ έχω : $\boxed{y = \dfrac{r}{3}}$ .

Κατασκευή .

Φέρνω την ακτίνα SO = r

και την προεκτείνω κατά $ON = \dfrac{r}{3}$ . Η κάθετη στην

στο

τέμνει τον κύκλο στα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ .

Το πρόβλημα έχει πάντα μια λύση

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 13, 2024 9:32 am
Κατασκευή με μέσο.pngΕυθεία $\epsilon$ εφάπτεται κύκλου σε σημείο . Σχεδιάστε χορδή , παράλληλη στην $\epsilon$ ,

τέτοια ώστε αν η εφαπτομένη του κύκλου στο τέμνει την $\epsilon$ στο και η προέκταση

της τέμνει την $\epsilon$ στο , το να είναι το μέσο του τμήματος .

Ανάλυση

$BM=MS=MT\Rightarrow SB \bot BT \Rightarrow N,B,T$ συνευθειακά και οι κόκκινες γωνίες είναι προφανώς ίσες.

Επίσης ,οι μπλε γωνίες του σχήματος είναι προφανώς ίσες άρα B,P,M,T

ομοκυκλικά,συνεπώς

$\angle BPM+ \theta =180^0 \Rightarrow N,P,M$ συνευθειακά

Από θ.κ δέσμης $\dfrac{KL}{LB} = \dfrac{SM}{MT}=1 \Rightarrow KL=LB \Rightarrow AK=2KL$ κι επειδή το

είναι σημείο της διαμέσου

του τριγώνου ANP

θα είναι κ.βάρους του οπότε $KO=\dfrac{r}{3}$

Κατασκευή

Κατασκευάζουμε κύκλο $(O, \dfrac{r}{3})$ και την εφαπτομένη του στο

που τέμνει τον κύκλο (O)

στα

: κατασκευή με μέσο.png (28.3 KiB) Προβλήθηκε 503 φορές

Κατασκευή με μέσο

Κατασκευή με μέσο

Re: Κατασκευή με μέσο

Re: Κατασκευή με μέσο

Re: Κατασκευή με μέσο

Μέλη σε σύνδεση