Διπλάσια γωνία

#1

Είναι γνωστό ότι $\displaystyle \widehat B = 2\widehat C \Leftrightarrow {b^2} = c(a + c).$ Αναρωτήθηκα τι μπορεί να συμβαίνει αν

$\displaystyle 2{b^2} = c(a + c)$ και έτσι προέκυψε η παρακάτω άσκηση.

: Σχέση πλευρών ειδικού τριγώνου.png (9.73 KiB) Προβλήθηκε 230 φορές

είναι η διάμεσος τριγώνου ABC

με $\displaystyle 2{b^2} = c(a + c).$ A) Να δείξετε ότι $\widehat B=2A\widehat CM.$

B) Να βρεθεί το τρίγωνο αν c=x^2-1, b=x^2+1, a=x^2+x+5.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 07, 2024 1:52 pm
Είναι γνωστό ότι $\displaystyle \widehat B = 2\widehat C \Leftrightarrow {b^2} = c(a + c).$ Αναρωτήθηκα τι μπορεί να συμβαίνει αν

$\displaystyle 2{b^2} = c(a + c)$ και έτσι προέκυψε η παρακάτω άσκηση. Σχέση πλευρών ειδικού τριγώνου.png
είναι η διάμεσος τριγώνου με $\displaystyle 2{b^2} = c(a + c).$ A) Να δείξετε ότι $\widehat B=2A\widehat CM.$

B) Να βρεθεί το τρίγωνο αν

A)Αν ο περίκυκλος του τριγώνου BMC

τέμνει την

στο

θα έχουμε

$\dfrac{c^2}{2}=AN.b \Rightarrow AN= \dfrac{c^2}{2b} \Rightarrow CN= \dfrac{2b^2-c^2}{2b}= \dfrac{ac}{2b}$

Έτσι, $\dfrac{AN}{NC}= \dfrac{c}{a} \Rightarrow BN$ διχοτόμος του τριγώνου ABC

συνεπώς $\angle B=2 \angle \theta$

B)Με αντικατάσταση στην δοθείσα σχέση καταλήγουμε στην εξίσωση

$x^3-2x^2-x-6=0 \Leftrightarrow (x-3)(x^2+x+2)=0 \Rightarrow x=3$ οπότε a=17,b=10,c=8

: διπλάσια γωνία.png (11.51 KiB) Προβλήθηκε 160 φορές

STOPJOHN · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 07, 2024 1:52 pm
Είναι γνωστό ότι $\displaystyle \widehat B = 2\widehat C \Leftrightarrow {b^2} = c(a + c).$ Αναρωτήθηκα τι μπορεί να συμβαίνει αν

$\displaystyle 2{b^2} = c(a + c)$ και έτσι προέκυψε η παρακάτω άσκηση. Σχέση πλευρών ειδικού τριγώνου.png
είναι η διάμεσος τριγώνου με $\displaystyle 2{b^2} = c(a + c).$ A) Να δείξετε ότι $\widehat B=2A\widehat CM.$

B) Να βρεθεί το τρίγωνο αν

Εστω

η διχοτόμος της γωνίας $\hat{B}$ .

Από το θεώρημα της διχοτόμου είναι

$AT=\dfrac{ab}{a+c},$ Tα τρίγωνα AMC,ABT

είναι όμοια γιατί $\hat{A}$ κοινή και $\dfrac{AM}{AT}=\dfrac{AC}{AB}\Leftrightarrow 2b^{2}=c(a+c)$

Οπότε $\hat{\theta }=\dfrac{B}{2}$

Για το δευτερο ερώτημα ειναι $2(x^{2}+1)^{2}=(x^{2}-1)(2x^{2}+x+4) \Leftrightarrow x^{2}-2x^{2}-x-6=0\Rightarrow x=3, a=17,b=10,c=8$

Διπλάσια γωνία

Διπλάσια γωνία

Re: Διπλάσια γωνία

Re: Διπλάσια γωνία

Μέλη σε σύνδεση