Προπαντός σταθερότητα

KARKAR · #1

: Προπαντός σταθερότητα.png (15.64 KiB) Προβλήθηκε 221 φορές

Στη διάμετρο

ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο

, ώστε :

και υψώνουμε

κάθετη ευθεία , εκατέρωθεν της οποίας σχεδιάζουμε ίσες γωνίες $\phi$ και $\theta$ , των οποίων οι άλλες πλευρές , τέμνουν

το τόξο στα σημείο P , Q

αντίστοιχα . Δείξτε ότι η

διέρχεται από σταθερό σημείο

και υπολογίστε το

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 29, 2024 1:17 pm
Προπαντός σταθερότητα.pngΣτη διάμετρο ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο , ώστε : και υψώνουμε

κάθετη ευθεία , εκατέρωθεν της οποίας σχεδιάζουμε ίσες γωνίες $\phi$ και $\theta$ , των οποίων οι άλλες πλευρές , τέμνουν

το τόξο στα σημείο αντίστοιχα . Δείξτε ότι η διέρχεται από σταθερό σημείο και υπολογίστε το .

Σταθερά είναι , το σημείο

και η κάθετη σ αυτό επί τη διάμετρο

, έστω ευθεία $\left( g \right)$ .

Σταθερό θα είναι τώρα και το σημείο

, τομή του ημικυκλίου με την ευθεία

. Ας είναι

το μεταβλητό σημείο τομής των $SD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PQ$ .

Αν η

τέμνει την σταθερή ευθεία

στο

θα δείξω ότι το

είναι σταθερό .

Ας είναι

το σημείο τομής των χορδών $AQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BP$ . Αν οι ευθείες $AP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BQ$ τέμνονται στο

το

θα είναι ορθόκεντρο του $\vartriangle EAB$ .

: προπαντός σταθερότητα.png (32.28 KiB) Προβλήθηκε 156 φορές

Δηλαδή το

ανήκει στην ευθεία

.

Όμως από την κατασκευή της πολικής ενός σημείου προς δύο ευθείες , οι πολικές των $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E\,\,$ ως προς τα ζεύγη την ευθειών ,

$\left( {EA\,,EB} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,$ $\left( {TD,TB} \right)$ είναι οι ευθείες , $EH\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TH$ , ενώ η τετράδα : $\left( {A,B\backslash S,T} \right)$ είναι αρμονική . Από την αρμονική αναλογία ,

$\dfrac{{SA}}{{SB}} = \dfrac{{TA}}{{TB}}$ έχω , $\dfrac{a}{b} = \dfrac{{a + b + x}}{x} \Leftrightarrow \boxed{x = \dfrac{{b\left( {a + b} \right)}}{{a - b}}}$ .

Παρατηρήσεις :

Η είναι εφαπτομένη του ημικυκλίου.

Αν με πόλο το και δύναμη αντιστροφής , , αντιστρέψω τον κύκλο , αυτός μένει αμετάβλητος.

Αλλιώς.

: Προπαντός σταθερότητα_new_new.png (23.57 KiB) Προβλήθηκε 129 φορές

Θεωρώ και το κάτω ημικύκλιο . Η κάθετη στο

επί την

τέμνει το πάνω ημικύκλιο στο

και το κάτω στο

.

Επειδή προφανώς , $AD \cdot EB = AE \cdot DB$ το τετράπλευρο AEBD

είναι αρμονικό και η τετράδα , $\left( {A,B\backslash S,T} \right)$ είναι αρμονική .

Τα υπόλοιπα όπως πιο πάνω.

Προπαντός σταθερότητα

Προπαντός σταθερότητα

Re: Προπαντός σταθερότητα

Μέλη σε σύνδεση