Αρχαιολόγος

KARKAR · #1

: Αρχαιολόγος.png (16.64 KiB) Προβλήθηκε 212 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

είναι :

. Φέρουμε το ύψος

και την διχοτόμο

,

την οποία ο κύκλος (D , E , C)

, τέμνει στο σημείο

. Να υπολογισθεί ο λόγος : $\dfrac{BS}{SE}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 23, 2024 12:46 pm
Αρχαιολόγος.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο είναι : . Φέρουμε το ύψος και την διχοτόμο ,

την οποία ο κύκλος , τέμνει στο σημείο . Να υπολογισθεί ο λόγος : $\dfrac{BS}{SE}$ .

Είναι $a=c \sqrt{5}$ .

$AE=\dfrac{bc}{a+c} = \dfrac{2c^2 }{c \sqrt{5} +c}= \dfrac{2c }{ \sqrt{5} +1} \Rightarrow AE^2= \dfrac{4c^2}{ (\sqrt{5}+1)^2 } \Rightarrow \dfrac{c^2}{AE^2}= \dfrac{( \sqrt{5} +1)^2}{4} = \Phi ^2$

Λόγω ισότητας των κόκκινων γωνιών, το BDSA

είναι εγγράψιμμο σε κύκλο , άρα

$AS \bot BE \Rightarrow \dfrac{BS}{SE}= \dfrac{c^2}{AE^2} = \Phi ^2$

Λόγω αβλεψίας έγραψα λάθος το

συναρτήσει των a,b,c

.Η σκέψη πάντως είναι αυτή.

Ευχαριστώ τον Θανάση που μου το επισήμανε.

: Αρχαιολόγος.png (18.16 KiB) Προβλήθηκε 203 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 23, 2024 12:46 pm
Αρχαιολόγος.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο είναι : . Φέρουμε το ύψος και την διχοτόμο ,

την οποία ο κύκλος , τέμνει στο σημείο . Να υπολογισθεί ο λόγος : $\dfrac{BS}{SE}$ .

Είναι $\displaystyle a = c\sqrt 5 ,AD = 2BD = \frac{{2c}}{{\sqrt 5 }},AE = \frac{{2c}}{{\sqrt 5 + 1}} = \frac{c}{\phi }$

και $\displaystyle B{E^2} = {c^2} + \frac{{{c^2}}}{{{\phi ^2}}} \Leftrightarrow BE = \frac{c}{\phi }\sqrt {{\phi ^2} + 1}$

: Αρχαιολόγος.png (12.59 KiB) Προβλήθηκε 142 φορές

$\displaystyle BD \cdot BC = BS \cdot BE$ και με αντικατάσταση στις παραπάνω τιμές είναι $\displaystyle BS = \frac{{c\phi }}{{\sqrt {{\phi ^2} + 1} }}$

Εύκολα τώρα μετά τις πράξεις παίρνω τον ζητούμενο λόγο $\boxed{\frac{{BS}}{{SE}} = {\phi ^2}}$

Αρχαιολόγος

Αρχαιολόγος

Re: Αρχαιολόγος

Re: Αρχαιολόγος

Μέλη σε σύνδεση