Αγαστή συνευθειακότητα

KARKAR · #1

: Αγαστή συνευθειακότητα.png (20.04 KiB) Προβλήθηκε 710 φορές

Από σημείο

, φέραμε τα εφαπτόμενα προς τον κύκλο , τμήματα

και

. Θεωρούμε χορδή

του κύκλου , παράλληλη προς το

, την οποία προεκτείνουμε κατά τμήμα BD=CB

.

Αν η

τέμνει τον κύκλο στο σημείο

, δείξτε ότι τα σημεία C , T , S

είναι συνευθειακά .

Dimessi · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 16, 2024 12:18 pm
Αγαστή συνευθειακότητα.png Από σημείο , φέραμε τα εφαπτόμενα προς τον κύκλο , τμήματα και . Θεωρούμε χορδή

του κύκλου , παράλληλη προς το , την οποία προεκτείνουμε κατά τμήμα .

Αν η τέμνει τον κύκλο στο σημείο , δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .

Εν όψει Ευκλέιδη... Είναι $\displaystyle \angle ABC\overset{CB\parallel AS}=\angle BAS\overset{\chi o\rho \delta \eta \varsigma -\epsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \epsilon \nu \eta \varsigma }=\angle ACB\Rightarrow \boxed{AC=AB }\left ( 1 \right ).$ Αφού $\displaystyle \angle ABT\overset{\chi o\rho \delta \eta \varsigma -\epsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \epsilon \nu \eta \varsigma }=\angle TAS\overset{CD\parallel AS}=\angle ADB\overset{\angle BAD\equiv \angle BAT}\Rightarrow A\overset{\bigtriangleup }TB\sim A\overset{\bigtriangleup }DB\Rightarrow \boxed{\frac{AT}{TB}=\frac{AB}{BD}}\left ( 2 \right ).$ Επομένως $\displaystyle \frac{AT}{TB}\overset{\left ( 2 \right )}=\frac{AB}{BD}=\frac{AB}{CB}\overset{\left ( 1 \right )}=\frac{AC}{CB},$ άρα το τετράπλευρο ACBT

είναι αρμονικό και αφού η

είναι η πολική του

ως προς τον κύκλο, τα σημεία C,T,S

είναι συνευθειακά.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 16, 2024 12:18 pm
Αγαστή συνευθειακότητα.png Από σημείο , φέραμε τα εφαπτόμενα προς τον κύκλο , τμήματα και . Θεωρούμε χορδή

του κύκλου , παράλληλη προς το , την οποία προεκτείνουμε κατά τμήμα .

Αν η τέμνει τον κύκλο στο σημείο , δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .

Ξεκινάμε λίγο αλλιώτικα:

Έστω κύκλος $\Omega$ και τα εφαπτόμενα τμήματα $SA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB$ προς αυτόν . Από το

θεωρώ ευθεία $\varepsilon //SA$

Που τέμνει τον κύκλο ακόμα στο

και η

τέμνει τον κύκλο στο

.

: Αγαστή συνευθειακότητα.png (20.97 KiB) Προβλήθηκε 682 φορές

Άμεση συνέπεια, το τετράπλευρο ACBT

είναι αρμονικό και η δέσμη : $A\left( {S,B\backslash T,C} \right)$ είναι αρμονική.

Η ευθεία $\varepsilon$ είναι λοιπόν παράλληλη στην ακτίνα

της πιο πάνω δέσμης και έτσι τέμνει τις άλλες στα σημεία ,

$C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ τις $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$ και έστω σε σημείο

την

. Τότε

και λόγω του Ευκλειδείου αιτήματος

το

είναι μονοσήμαντα ορισμένο.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 16, 2024 12:18 pm
Αγαστή συνευθειακότητα.png Από σημείο , φέραμε τα εφαπτόμενα προς τον κύκλο , τμήματα και . Θεωρούμε χορδή

του κύκλου , παράλληλη προς το , την οποία προεκτείνουμε κατά τμήμα .

Αν η τέμνει τον κύκλο στο σημείο , δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .

Λόγω των εφαπτομένων SA,SB

και της παραλληλίας AS//BC

οι γωνίες $\phi$ είναι ίσες όπως και γωνίες $\theta$

Είναι $\angle \phi + \theta +CTD=180^0 \Rightarrow T,E,B,Z$ ομοκυκλικά,άρα $\angle \omega = \angle \theta \Rightarrow EZ//CD//AS$

Από θ.κ.δέσμης $\dfrac{AM}{MS} = \dfrac{EK}{KZ} = \dfrac{CB}{BD}=1 \Rightarrow AM=MS$

Έτσι, $\dfrac{AM}{BD}= \dfrac{MS}{CB}$ συνεπώς (αντίστροφο θ.κ.δέσμης) οι AD,MB,CS

συγκλίνουν στο

και το ζητούμενο αποδείχτηκε

: συνευθειακά.................png (46.78 KiB) Προβλήθηκε 578 φορές

Αγαστή συνευθειακότητα

Αγαστή συνευθειακότητα

Re: Αγαστή συνευθειακότητα

Re: Αγαστή συνευθειακότητα

Re: Αγαστή συνευθειακότητα

Μέλη σε σύνδεση