Για ποια θέση;

#1

: Για ποια θέση.png (15.26 KiB) Προβλήθηκε 606 φορές

Δίνεται τρίγωνο ABC

με

και

ένα σημείο της πλευράς BC.

Οι περίκυκλοι των

τριγώνων ACD, ABD

τέμνουν τις BA, AC

στα

αντίστοιχα και η

τέμνει την

στο

Αν

είναι το μέσο του KM,

να βρείτε: α) τη θέση του σημείου

και β) τις πλευρές του ABC

αν

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 09, 2024 2:05 pm
Για ποια θέση.png
Δίνεται τρίγωνο με και ένα σημείο της πλευράς Οι περίκυκλοι των

τριγώνων τέμνουν τις στα αντίστοιχα και η τέμνει την στο Αν

είναι το μέσο του να βρείτε: α) τη θέση του σημείου και β) τις πλευρές του αν

A)Στο τρίγωνο BKM

με διατέμνουσα ALC

ο Μενέλαος δίνει $\dfrac{c}{AK} . 1 . \dfrac{MC}{2c} =1 \Rightarrow MC=2AK=2m$

Επειδή $CD.2c=CL.2c \Rightarrow CD=CL \Rightarrow ALDB$ ισοσκελές τραπέζιο,

άρα

μέσον της

κι έστω

Ισχύει, $BA.BK=BD.BC \Rightarrow c(c+m)=n.2c \Rightarrow c+m=2n \Rightarrow c+m =2c-2m$

άρα $m= \dfrac{c}{3} \Rightarrow n=BD=DM= \dfrac{2c}{3}$

B)Επειδή $c+m=2n \Rightarrow BK=BM$ και η

είναι μεσοκάθετη της

επομένως

$BK^2=BL^2+ \dfrac{KM^2}{4} \Rightarrow ( \dfrac{4c}{3})^2=BL^2+ 2c (1)$

Ισχύει $\dfrac{DL}{c}= \dfrac{CD}{CB}= \dfrac{2}{3} \Rightarrow DL= \dfrac{2c}{3}$ και

τότε ο Πτολεμαίος στο ισοσκελές τραπέζιο ALDB

δίνει

$BL^2= \dfrac{10c^2}{9}$ κι εύκολα από την (1)

παίρνουμε

και

: Για ποια θέση.png (270.18 KiB) Προβλήθηκε 510 φορές

Για ποια θέση;

Για ποια θέση;

Re: Για ποια θέση;

Μέλη σε σύνδεση