Δυο σας και μόνη μου

KARKAR · #1

: Δυο σας και μόνη μου.png (20.1 KiB) Προβλήθηκε 971 φορές

Τα σημεία A , C , B , D

είναι συνευθειακά και τα ημικύκλια διαμέτρων AB , CD

τέμνονται στο σημείο

.

Η χορδή

του πρώτου ημικυκλίου εφάπτεται στο δεύτερο και έχει μέσο το

, αντίστοιχα ορίζεται η

με μέσο

. Η

τέμνει τα δύο τόξα κατά σειρά στα σημεία E , F

, ενώ οι

τέμνονται στο

.

Δείξτε ότι : $\omega=\phi+\theta$ . ( Ένας άγραφος κανόνας λέει ότι στα δεδομένα μιας άσκησης , "απαγορεύεται"
να εμφανίζονται περισσότερα από σημεία . Εδώ ο κανόνας παραβιάστηκε ! )

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 04, 2023 11:03 am
Δυο σας και μόνη μου.pngΤα σημεία είναι συνευθειακά και τα ημικύκλια διαμέτρων τέμνονται στο σημείο .

Η χορδή του πρώτου ημικυκλίου εφάπτεται στο δεύτερο και έχει μέσο το , αντίστοιχα ορίζεται η

με μέσο . Η τέμνει τα δύο τόξα κατά σειρά στα σημεία , ενώ οι τέμνονται στο .

Δείξτε ότι : $\omega=\phi+\theta$ . ( Ένας άγραφος κανόνας λέει ότι στα δεδομένα μιας άσκησης , "απαγορεύεται"
να εμφανίζονται περισσότερα από σημεία . Εδώ ο κανόνας παραβιάστηκε ! )

Αρκεί να δειχθεί ότι το τετράπλευρο TESN

είναι εγγράψιμο.

Η δέσμη : $\left( {TP,TS\backslash TC,TD} \right)$ είναι αρμονική και αναγκαστικά το

είναι το συμμετρικό του

με άξονα συμμετρίας την ευθεία

.

: Δυο σας και μόνη μου.png (35.06 KiB) Προβλήθηκε 943 φορές

Τώρα το τετράπλευρο TESQ

είναι εγγράψιμο και άρα $\widehat {\theta _{}^{}} = \widehat {{\omega _1}}$ και όμοια , $\widehat {\phi _{}^{}} = \widehat {{\omega _2}}$ .

Το ζητούμενο φανερό .

Aba · #3

: Στιγμιότυπο οθόνης 2023-07-04 164109.png (76.41 KiB) Προβλήθηκε 901 φορές

Φέρουμε TE και ΤF. Η $\angle PTE=\angle QTE$ και $\angle TPF=\angle FTQ$ , ως γωνίες χορδής-εφαπτομένης.
Επομένως, το τρίγωνο ΕΤΡ είναι όμοιο με το ΤFQ. Το τρίγωνο TFQ έχει στραφεί σε σχέση με το ΕΤΡ κατά γωνία $\angle TFE$
Άρα και η γωνία των διαμέσων τους θα είναι $\angle MSN=\angle TFE$ .
Eπομένως, $\widehat{\omega }=\angle MSN= \angle TFE=180-180+\angle FTQ+\angle TQF=\angle FTQ+\angle TQF=\widehat{\phi }+\widehat{\theta }$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 04, 2023 11:03 am
Δυο σας και μόνη μου.pngΤα σημεία είναι συνευθειακά και τα ημικύκλια διαμέτρων τέμνονται στο σημείο .

Η χορδή του πρώτου ημικυκλίου εφάπτεται στο δεύτερο και έχει μέσο το , αντίστοιχα ορίζεται η

με μέσο . Η τέμνει τα δύο τόξα κατά σειρά στα σημεία , ενώ οι τέμνονται στο .

Δείξτε ότι : $\omega=\phi+\theta$ . ( Ένας άγραφος κανόνας λέει ότι στα δεδομένα μιας άσκησης , "απαγορεύεται"
να εμφανίζονται περισσότερα από σημεία . Εδώ ο κανόνας παραβιάστηκε ! )

Είναι προφανής (υπό χορδής-εφαπτομένης) η ισότητα των πράσινων όπως και των κόκκινων γωνιών του σχήματος

Θα αποδείξουμε ισοδύναμα ότι τα M,T,N,S

είναι ομοκυκλικά

Έστω ότι οι μεσοκάθετες των PT,TQ

τέμνονται στο

οπότε $\angle I+MTN=180^0$

Θα αποδείξουμε ότι $\angle I= \angle S \Leftrightarrow M,I,S,N$ ομοκυκλικά

Είναι $\triangle PET \simeq \triangle TFQ \Rightarrow \dfrac{PT}{TQ}= \dfrac{TE}{QF} \Rightarrow \dfrac{TM}{NQ} =\dfrac{TE}{QF} \Rightarrow \triangle MTE \simeq \triangle NFQ$

Επομένως $\angle EMT= \angle FNQ$ άρα και $\angle IMS= \angle INS$ ως συμπληρώματα αυτών

άρα M,I,S,N

ομοκυκλικά και το ζητούμενο έπεται.

: δυο σας και μόνη μου.png (28.3 KiB) Προβλήθηκε 850 φορές

Δυο σας και μόνη μου

Δυο σας και μόνη μου

Re: Δυο σας και μόνη μου

Re: Δυο σας και μόνη μου

Re: Δυο σας και μόνη μου

Μέλη σε σύνδεση