Μετρικά κυκλικά θέματα

KARKAR · #1

: Μετρικά κυκλικά θέματα.png (11.49 KiB) Προβλήθηκε 323 φορές

Η χορδή

του κύκλου (O,5)

, έχει μήκος

. Επί της ακτίνας

κινείται σημείο

.

Φέρουμε τμήμα : $TS \perp AS$ . Ας προσδιορίσουμε την θέση του

, ώστε :

.

Αυτό γίνεται είτε υπολογίζοντας την $\tan\theta$ , είτε το μήκος του

. Κάντε τα και τα δύο !

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 10, 2023 9:37 am
Μετρικά κυκλικά θέματα.png Η χορδή του κύκλου , έχει μήκος . Επί της ακτίνας κινείται σημείο .

Φέρουμε τμήμα : $TS \perp AS$ . Ας προσδιορίσουμε την θέση του , ώστε : .

Αυτό γίνεται είτε υπολογίζοντας την $\tan\theta$ , είτε το μήκος του . Κάντε τα και τα δύο !

Κατασκευή χωρίς τις μεθόδους που προτείνει ο θεματοδότης.

: Μετρικά κυκλικά θέματα.png (14.71 KiB) Προβλήθηκε 312 φορές

Φέρνω από το

κάθετη στην

που επανατέμνει τον κύκλο στο

Το ημικύκλιο διαμέτρου

τέμνει το τμήμα

στο ζητούμενο σημείο

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 10, 2023 9:37 am
Μετρικά κυκλικά θέματα.png Η χορδή του κύκλου , έχει μήκος . Επί της ακτίνας κινείται σημείο .

Φέρουμε τμήμα : $TS \perp AS$ . Ας προσδιορίσουμε την θέση του , ώστε : .

Αυτό γίνεται είτε υπολογίζοντας την $\tan\theta$ , είτε το μήκος του . Κάντε τα και τα δύο !

Πάμε τώρα στους υπολογισμούς. Εύκολα AE=6

και $\displaystyle \tan \omega = \frac{4}{3}.$

: Μετρικά κυκλικά θέματα.β.png (16.28 KiB) Προβλήθηκε 306 φορές

$\displaystyle \theta = N\widehat AB - 45^\circ = \omega - 45^\circ \Leftrightarrow \tan \theta = \frac{{\tan \omega - 1}}{{1 + \tan \omega }} \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \theta = \frac{1}{7}}$

$\displaystyle \sin \omega = \frac{4}{5} \Leftrightarrow \frac{{AN}}{6} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow AN = NS = \frac{{24}}{5}$ και με Π.Θ, $\displaystyle BN = \frac{{32}}{5}.$

Άρα, $\boxed{SB = BN - NS = \frac{8}{5}}$

KARKAR · #4

Γιώργο κι εγώ έτσι κατασκεύασα το σχήμα

. Βρήκα ενδιαφέροντες και τους υπολογισμούς ...

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 10, 2023 9:37 am
Μετρικά κυκλικά θέματα.png Η χορδή του κύκλου , έχει μήκος . Επί της ακτίνας κινείται σημείο .

Φέρουμε τμήμα : $TS \perp AS$ . Ας προσδιορίσουμε την θέση του , ώστε : .

Αυτό γίνεται είτε υπολογίζοντας την $\tan\theta$ , είτε το μήκος του . Κάντε τα και τα δύο !

Έστω λυμένο το πρόβλημα της κατασκευής και ας είναι

το σημείο τομής της ημιευθείας

με την

.

Επειδή $\widehat {DSB} = 45^\circ \Rightarrow \widehat {ASB} = 135^\circ$ άρα το

προκύπτει από την τομή τεταρτοκυκλίου κέντρου

και χορδής

, με την ακτίνα

.

: μερικά κυκλικά θέματα_κατασκευή.png (21.52 KiB) Προβλήθηκε 287 φορές

Για τα μετρικά ερωτήματα δεν έχω δει τι γράφει ο Γιώργος .

Θα γράψω τις προσπάθειές μου και θα τις ανεβάσω μόνο αν είναι κάτι διαφορετικό από του Γιώργου.

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 10, 2023 9:37 am
Μετρικά κυκλικά θέματα.png Η χορδή του κύκλου , έχει μήκος . Επί της ακτίνας κινείται σημείο .

Φέρουμε τμήμα : $TS \perp AS$ . Ας προσδιορίσουμε την θέση του , ώστε : .

Αυτό γίνεται είτε υπολογίζοντας την $\tan\theta$ , είτε το μήκος του . Κάντε τα και τα δύο !

Υπολογισμοί . Θέτω : $AS = x\,\,,\,\,OS = y\, < 5$

Θ ημιτόνων στο $\vartriangle SAB$ , $\dfrac{{AS}}{{\sin B}} = \dfrac{{AB}}{{\sin 135^\circ }} \Rightarrow \dfrac{x}{{\dfrac{3}{5}}} = \dfrac{8}{{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{24\sqrt 2 }}{5}}\,\,\left( 1 \right)$

Θ συνημίτονων στο $\vartriangle OAS$ , $O{A^2} = A{S^2} + O{S^2} - 2AS \cdot OS \cdot \sin 45^\circ \Rightarrow 25 = \dfrac{{2 \cdot {{24}^2}}}{{25}} + {y^2} - \dfrac{{48y}}{5} = 0$ , απ’ όπου : $y = \dfrac{{31}}{5} > 5\,\,,\,\,\boxed{y = \dfrac{{17}}{5}}\,\,\,\left( 2 \right)$ άρα $\boxed{SB = 5 - \dfrac{{17}}{5} = \dfrac{8}{5}}$

: Μετρικά κυκλικά θέματα_Υπολογισμοί.png (26.59 KiB) Προβλήθηκε 269 φορές

Πάλι στο $\vartriangle SAB$ , πάλι με Θ. ημιτόνων , $\dfrac{{SB}}{{\sin \theta }} = \dfrac{{AB}}{{\sin 135^\circ }} \Rightarrow \dfrac{{\dfrac{8}{5}}}{{\sin \theta }} = \dfrac{8}{{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}} \Rightarrow \sin \theta = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{10}}$

άρα $\cos \theta = \sqrt {1 - \dfrac{{98}}{{100}}} = \dfrac{{7\sqrt 2 }}{{10}}$ , οπότε: $\boxed{\dtan \theta = \dfrac{1}{7}}$ .

Μετρικά κυκλικά θέματα

Μετρικά κυκλικά θέματα

Re: Μετρικά κυκλικά θέματα

Re: Μετρικά κυκλικά θέματα

Re: Μετρικά κυκλικά θέματα

Re: Μετρικά κυκλικά θέματα

Re: Μετρικά κυκλικά θέματα

Μέλη σε σύνδεση