Απαιτητική συνευθειακότητα

[KARKAR]

Ένα απ' τα πολλά.png (23.24 KiB) Προβλήθηκε 805 φορές

Ένα σημείο , βρίσκεται σε απόσταση , από το κοινό κέντρο των κύκλων και .

Σχεδιάζω τυχούσα τέμνουσα του μικρού κύκλου . Εντοπίστε σημείο του μεγάλου κύκλου , ώστε

αν οι τέμνουν τον μικρό στα σημεία αντίστοιχα , τα σημεία να είναι συνευθειακά .

[Demetres]

Έστω το σημείο τομής των και . Τότε (θεώρημα Brocard) η είναι η πολική του ως προς τον μικρό κύκλο. Αν λοιπόν η αντιστροφή του ως προς τον μικρό κύκλο τότε το είναι οποιοδήποτε από τα δύο σημεία τομής του μεγάλου κύκλου και της κάθετης στην που περνά από το σημείο .

Φαντάζομαι το «απαιτητικό» έχει να κάνει με την αποφυγή των πολικών που ίσως αρκετοί που λαμβάνουν μέρος σε Θαλή/Ευκλείδη να μην τη γνωρίζουν.

Προσθήκη αργότερα: Στην πιο πάνω λύση δεν χρησιμοποίησα καθόλου τις αποστάσεις μεταξύ των σημείων. Δεν είναι δύσκολο χρησιμοποιώντας τη λύση μου να δείξουμε ότι . Ίσως εκεί να στόχευε ο θεματοθέτης αλλά με αποφυγή των πολικών.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Παρατηρώ ότι , άρα και . Έχουμε λοιπόν

[Doloros]

Ένα απ' τα πολλά.pngΈνα σημείο , βρίσκεται σε απόσταση , από το κοινό κέντρο των κύκλων και .

Σχεδιάζω τυχούσα τέμνουσα του μικρού κύκλου . Εντοπίστε σημείο του μεγάλου κύκλου , ώστε

αν οι τέμνουν τον μικρό στα σημεία αντίστοιχα , τα σημεία να είναι συνευθειακά .

Έστω λυμένο το πρόβλημα .

Με σταθερά τα σημεία και καθώς και τους ομόκεντρους κύκλους ,

φέρνω την πολική του ως προς τον μικρό κύκλο και τέμνει σε σταθερό σημείο την θα διέρχεται δε από το .

Απαιτηιτική συνευθειακότητα.png (28.7 KiB) Προβλήθηκε 747 φορές

Θα διέρχεται δε από το μεταβλητό σημείο των και το μεταβλητό σημείο της ( εφ΄ όσον αυτή μεταβάλλεται )

και από το σταθερό σημείο που τέμνει τον μικρό κύκλο . Η τετράδα

είναι αρμονική . θα ισχύουν : .

Η κάθετη στην στο σταθερό τέμνει το μεγάλο κύκλο στο σημείο . Δύο λύσεις.

[KARKAR]

Αγαπημένο βιβλίο του Νίκου Φραγκάκη , το οποίο έχω την τύχη να κατέχω , το " η Γεωμετρία του υποψηφίου "

του Άγγελου Κούρκουλου . Η άσκηση , σελίδα ζητά να αποδείξουμε ότι στο σχήμα της άσκησης , είναι :

. Αναζήτησα ακέραια λύση της εξίσωσης : .

Λοιπόν , είναι : . Αυτός είναι ο λόγος που έβαλα τα αριθμητικά δεδομένα ( και άφησα

να φαίνεται στο σχήμα το τμήμα , που θα μπορούσε να παραλειφθεί ) .