Πολλές Λύσεις

Lymperis Karras · #1

Δίνεται τρίγωνο $\triangle {ABC}$ με $\angle{A}$ αμβλεία και $\angle{B}=2\angle{C}$ . Από το

φέρνουμε κάθετη στην

που τέμνει την

στο

. Αν

μέσον της

, να δείξετε ότι $\angle{AMB}=\angle{TMC}$ .

Σημείωση: Πρόκειται για γνωστή άσκηση, οπότε πολύ πιθανό να έχει ξανατεθεί στο

cool geometry · #2

Παρακαλώ τους συναδέλφους να την αφήσουν για 24 ώρες για τους μαθητές μας(εύκολο θέμα), οι οποίοι σίγουρα θα βρουν λύση.

#3

Lymperis Karras έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 03, 2022 3:29 pm
Δίνεται τρίγωνο $\triangle {ABC}$ με $\angle{A}$ αμβλεία και $\angle{B}=2\angle{C}$ . Από το φέρνουμε κάθετη στην που τέμνει την στο . Αν μέσον της , να δείξετε ότι $\angle{AMB}=\angle{TMC}$ .

Σημείωση: Πρόκειται για γνωστή άσκηση, οπότε πολύ πιθανό να έχει ξανατεθεί στο

: 1.png (13.59 KiB) Προβλήθηκε 1163 φορές

Έστω

το σημείο τομής της συμμετρικής της

ως προς την

με την

.

Τότε στο τρίγωνο $\vartriangle BCN$ οι CA,CT

είναι (από κατασκευής) οι εσωτερική και εξωτερική διχοτόμος του αντίστοιχα, άρα οι σειρά $\left( B,A,N,T \right)$ είναι αρμονική και συνεπώς και η δέσμη M.BANT

είναι αρμονική και επειδή $\angle NCB=2\left( \angle ACB \right)=\angle NBC\Rightarrow \vartriangle NBC$ ισοσκελές και με

το μέσο της «βάσης» του θα είναι $MN\bot MB$ οπότε αφού δύο ακτίνες της ως άνω αρμονικής δέσμης είναι κάθετες μεταξύ τους θα διχοτομούν τις γωνίες που σχηματίζουν οι άλλες δύο $\left( MA,MT \right)$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί .

Σημείωση: Προς τον cool ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Δεν άφησα την άσκηση στους μαθητές για να μην σου δώσω το χρόνο να τη λύσεις

Θα στοιχημάτιζα ότι δεν έχεις την ίδια λύση με τη δική μου (άλλα ...χωράφια)

Περιμένω τη δική σου (την τριγωνομετρική )

#4

Lymperis Karras έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 03, 2022 3:29 pm
Δίνεται τρίγωνο $\triangle {ABC}$ με $\angle{A}$ αμβλεία και $\angle{B}=2\angle{C}$ . Από το φέρνουμε κάθετη στην που τέμνει την στο . Αν μέσον της , να δείξετε ότι $\angle{AMB}=\angle{TMC}$ .

Σημείωση: Πρόκειται για γνωστή άσκηση, οπότε πολύ πιθανό να έχει ξανατεθεί στο

Επί της ουσίας είδα μετά τη λύση μου ότι δεν διαφέρει από του Στάθη .

Την γράφω όμως για να δείξω πως σκέφτηκα και για λόγους διατύπωσης .
.

: Πολλές λύσεις.png (17.9 KiB) Προβλήθηκε 1087 φορές

.
Από το νόμο της φυσικής η ισότητα $\widehat {{x_{}}} = \widehat {{y_{}}}$ μας φέρνει στη σκέψη, γωνία πρόπτωσης και ανάκλασης .

Φέρνω στο

επί την

κάθετη που τέμνει την

στο

με άμεση συνέπεια η

είναι μεσοκάθετος στο

και άρα η

είναι εσωτερική διχοτόμος στο $\vartriangle CDB$ ενώ η $CT \bot CA$ είναι εξωτερική ..

Θα ισχύει επομένως η αρμονική αναλογία : $\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{TD}}{{TB}}\,\,\,\left( 1 \right)$ . Τώρα στο $\vartriangle MAT$ . Ισχύει η $\left( 1 \right)$ και επί πλέον $MD \bot MB$ ,

δηλαδή η

εσωτερική και η

εξωτερική διχοτόμος του , οπότε :

$\boxed{\widehat {{x_{}}} = \widehat {{y_{}}}}$ .

#5

Lymperis Karras έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 03, 2022 3:29 pm
Δίνεται τρίγωνο $\triangle {ABC}$ με $\angle{A}$ αμβλεία και $\angle{B}=2\angle{C}$ . Από το φέρνουμε κάθετη στην που τέμνει την στο . Αν μέσον της , να δείξετε ότι $\angle{AMB}=\angle{TMC}$ .

Σημείωση: Πρόκειται για γνωστή άσκηση, οπότε πολύ πιθανό να έχει ξανατεθεί στο

: Πολλές λύσεις_new.png (20.76 KiB) Προβλήθηκε 1068 φορές

Φέρνω από το

ευθεία παράλληλη στην

και τέμνει την

στο

και η

την

στο

.

Επειδή η

διάμεσος στο $\vartriangle ABC$ η τετράδα $\left( {M,E\backslash D,T} \right)$ είναι αρμονική κι αφού $TC \bot CA$ , η

διχοτομεί την $\widehat {ECM}$ .

Το τραπέζιο AECB

είναι υπερισοσκελές και άρα $\vartriangle ABM = \vartriangle ECM \Rightarrow \widehat {AMB} = \widehat {CME}$ .

Γιώργο ( Βισβίκη) είναι η καλίτερη μαντινάδα που βρήκα για τη λέξη μπεντένι

Στο σεβασμό και στη "πρεπιά" και σ' ήντα νάμι μένει
πρέπει να στέκει ο άνθρωπος για μια ζωή μπεντένι.

Ελεύθερη μετάφραση .

Για τον σεβασμό που εμπνέει , για την ευπρέπεια που έχει και για την υστεροφημία του, πρέπει μια ζωή κάθε άνθρωπος να είναι βράχος ακλόνητος ( μπεντένι )

#6

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 03, 2022 9:58 pm

Γιώργο ( Βισβίκη) είναι η καλίτερη μαντινάδα που βρήκα για τη λέξη μπεντένι

Στο σεβασμό και στη "πρεπιά" και σ' ήντα νάμι μένει
πρέπει να στέκει ο άνθρωπος για μια ζωή μπεντένι.

Ελεύθερη μετάφραση .

Για τον σεβασμό που εμπνέει , για την ευπρέπεια που έχει και για την υστεροφημία του, πρέπει μια ζωή κάθε άνθρωπος να είναι βράχος ακλόνητος ( μπεντένι )

#7

cool geometry έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 03, 2022 4:13 pm
Παρακαλώ τους συναδέλφους να την αφήσουν για 24 ώρες για τους μαθητές μας(εύκολο θέμα), οι οποίοι σίγουρα θα βρουν λύση.

Περιμένουμε την εύκολη λύση σου με αγωνία

Εκτός αν θέλεις να μας δώσεις κάποια " κατεύθυνση " μη χάσουμε το δρόμο

Πολλές Λύσεις

Πολλές Λύσεις

Re: Πολλές Λύσεις

Re: Πολλές Λύσεις

Re: Πολλές Λύσεις

Re: Πολλές Λύσεις

Re: Πολλές Λύσεις

Re: Πολλές Λύσεις

Μέλη σε σύνδεση