Εξαιρετικό ισοσκελές

KARKAR · #1

: Εξαιρετικό ισοσκελές.png (8.97 KiB) Προβλήθηκε 805 φορές

Με βάση το τμήμα BC =a

, κατασκευάστε ισοσκελές τρίγωνο ABC

, στο οποίο αν φέρουμε το ύψος

,

την διχοτόμο

και την διάμεσο

, να προκύψει : DE=EM

. Υπολογίστε τότε , το τμήμα

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 13, 2022 11:54 am
Εξαιρετικό ισοσκελές.pngΜε βάση το τμήμα , κατασκευάστε ισοσκελές τρίγωνο , στο οποίο αν φέρουμε το ύψος ,

την διχοτόμο και την διάμεσο , να προκύψει : . Υπολογίστε τότε , το τμήμα .

Έστω

Με 2ο θεώρημα διαμέσων έχω:

: Εξαιρετικό ισοσκελές.png (7.65 KiB) Προβλήθηκε 797 φορές

$\displaystyle {b^2} - {a^2} = 2b(DM) = 4b(EM) = 4b(CM - CE) = 4b\left( {\frac{b}{2} - \frac{{ab}}{{a + b}}} \right) = \frac{{4{b^2}(b - a)}}{{2(a + b)}} \Leftrightarrow$

$\displaystyle {b^2} - 2ab - {a^2} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{b = a\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}$ Τώρα το τρίγωνο κατασκευάζεται εύκολα.

$\displaystyle DM = \frac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}} = \frac{{2{a^2}\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}{{2a\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}} \Leftrightarrow$ $\boxed{DM=a}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 13, 2022 11:54 am
Εξαιρετικό ισοσκελές.pngΜε βάση το τμήμα , κατασκευάστε ισοσκελές τρίγωνο , στο οποίο αν φέρουμε το ύψος ,

την διχοτόμο και την διάμεσο , να προκύψει : . Υπολογίστε τότε , το τμήμα .

Κατασκευή .

: Εξαιρετικό τρίγωνο κατασκευή.png (12.07 KiB) Προβλήθηκε 719 φορές

Θεωρώ ευθύγραμμο τμήμα $CE = k\sqrt 2$ όπου

το μισό του δεδομένου ευθυγράμμου τμήματος

.

Στο

θεωρώ σημείο

με

. Οι κύκλοι : $\left( {C,k} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\left( {\,D,k} \right)$ τέμνονται σε δύο σημεία έστω

το ένα απ’ αυτά .

Ας είναι

το συμμετρικό του

ως προς το

.

Φέρνω την κάθετη στο

επί την

και τέμνει την

στο

. Το $\vartriangle ABC$ είναι αυτό που θέλω .
Η απόδειξη ως άσκηση .

Υπολογισμός .

Ο κύκλος διαμέτρου

διέρχεται από το

και τέμνει την

ακόμη στο

.

Το τετράπλευρο CNSA

είναι εγγεγραμμένο. Αλλά και το τετράπλευρο DNBA

είναι εγγράψιμο σε ίσο ημικύκλιο διαμέτρου

.

Θέτω $BS = x \Rightarrow CD = x$ . Επίσης $DE = EM = d\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,CM = MA = R$ .

Από δύναμη του

ως προς τον κύκλο $\left( {M,R} \right)$ και θεώρημα διχοτόμων έχω:

: Εξαιρετικό τρίγωνο_Ανάλυση.png (15.22 KiB) Προβλήθηκε 719 φορές

$\left\{ \begin{gathered} BS \cdot BA = BN \cdot BC \hfill \\ CE = \dfrac{{CA \cdot CB}}{{BA + BC}} \hfill \\ CD + DM = R \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} Rx = {k^2} \hfill \\ x + d = \dfrac{{2kR}}{{k + R}} \hfill \\ x + 2d = R \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Διαγράφω από τις 2 τελευταίες το

και λόγω της πρώτης έχω:

$\dfrac{{3k - R}}{{k + R}}R = \dfrac{{{k^2}}}{R}$ . Αν θέσω τώρα , R = ky

θα προκύψει :

${y^3} - 3{y^2} + y + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\left( {{y^2} - 2y - 1} \right) = 0$ και άρα $y = 1 + \sqrt 2 \Rightarrow \boxed{R = k\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}$ .

Επίσης: $DM = 2d = R - x = R - \dfrac{{{k^2}}}{R} = \dfrac{{\left( {R + k} \right)\left( {R - k} \right)}}{R} = 2k = a$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 13, 2022 11:54 am
Εξαιρετικό ισοσκελές.pngΜε βάση το τμήμα , κατασκευάστε ισοσκελές τρίγωνο , στο οποίο αν φέρουμε το ύψος ,

την διχοτόμο και την διάμεσο , να προκύψει : . Υπολογίστε τότε , το τμήμα .

Ο περίκυκλος του $\triangle ABC$ τέμνεται από την

στο

και $NM \bot AC$

Επειδή MN//BD

και

,είναι

και θα ισχύει BE^2=AE.EC

Αλλά

άρα

επομένως

$\dfrac{2ab^3}{(a+b)^2}=ab \Rightarrow (\dfrac{a}{b})^2+2 \dfrac{a}{b} -1=0$ απ όπου $\dfrac{a}{b}= \sqrt{2} -1=0 \Rightarrow b=a( \sqrt{2}+1)$

Από το εγγράψιμμο $ADZB\Rightarrow CD.b= \dfrac{a^2}{2} \Rightarrow CD= \dfrac{a^2}{2b}$ άρα

$MD=\dfrac{b}{2}- \dfrac{a^2}{2b}= \dfrac{b^2-a^2}{2b}= \dfrac{2a^2( \sqrt{2}+1 )}{2a( \sqrt{2}+1 )}=a$

: εξαιρετικό ισοσκελές.png (71.85 KiB) Προβλήθηκε 648 φορές

#5

Για την κατασκευή

έχει ήδη προηγηθεί η ανάλυση και έχουμε αποδείξει ότι $b=a\sqrt 2+a )$

: Εξαιρετικό ισοσκελές.β.png (12.26 KiB) Προβλήθηκε 617 φορές

Με πλευρά

κατασκευάζω το τετράγωνο BCKL.

Προεκτείνω τις BK, CL

κατά τμήματα

KN=LP=a.

Οι κύκλοι

και

ορίζουν την τρίτη κορυφή

του τριγώνου.

Εξαιρετικό ισοσκελές

Εξαιρετικό ισοσκελές

Re: Εξαιρετικό ισοσκελές

Re: Εξαιρετικό ισοσκελές

Re: Εξαιρετικό ισοσκελές

Re: Εξαιρετικό ισοσκελές

Μέλη σε σύνδεση