Κατασκευή εγγραψίμου

KARKAR · #1

: Κατασκευή εγγραψίμου.png (9.48 KiB) Προβλήθηκε 712 φορές

Κατασκευάστε εγγράψιμο τετράπλευρο ABCD

, με :

και :

.

* Οι γενναίοι θα βρουν και την ακτίνα του περικύκλου .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 17, 2022 12:56 pm
Κατασκευή εγγραψίμου.pngΚατασκευάστε εγγράψιμο τετράπλευρο , με :

και : .

* Οι γενναίοι θα βρουν και την ακτίνα του περικύκλου .

Θέτω $\angle DAC= \angle CAB = \theta$ και BC=CD = a

. Από τον Νόμο των Συνημιτόνων στα δύο τρίγωνα έχουμε

$a^2= 4^2+5^2-2\cdot 4 \cdot 5 \cos \theta$ και $a^2= 3^2+5^2-2\cdot 3 \cdot 5 \cos \theta$ . Λύνω

$\cos \theta =\dfrac {7}{10},\, a= \sqrt {13}$ .

Φτιάχνω λοιπόν τα τρίγωνα $4,\, 5, \, a$ και $3,\,5,\,a$ , και τέλειωσα. Μένει να ελέγξω αν το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.

Από το ABD

που η γωνία του είναι $2\theta$ και άρα $\cos 2\theta = 2\cos ^2 \theta - 1= \dfrac {-1}{50}$ , έχουμε $BD^2= 3^2+4^2 +2\cdot 3\cdot 4 \cdot \dfrac {1}{50}$ από όπου $BD = \dfrac {7\sqrt {13}}{5}$ . Βλέπουμε λοιπόν από το Θεώρημα του Πτολεμαίου ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο (άμεσο). Τελειώσαμε.

'Οσο για την ακτίνα του περίκυκλου, ο οποίος ως περίκυκλος του ACD

δίνει $2R = \dfrac {a}{\sin \theta } = \dfrac {\sqrt {13}}{\sqrt {51}/10 }$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 17, 2022 12:56 pm
Κατασκευή εγγραψίμου.pngΚατασκευάστε εγγράψιμο τετράπλευρο , με :

και : .

* Οι γενναίοι θα βρουν και την ακτίνα του περικύκλου .

Έστω λυμένο το πρόβλημα. Προφανώς η

διχοτομεί την $\widehat {BAD}$ , Έστω DC = CB = x

.

Η κάθετη από το

στην

τέμνει

στο

και άρα η

είναι μεσοκάθετος στο

και το τετράπλευρο ABCE

είναι χαρταετός ,

Έστω

το μέσο της βάσης DE = 1

του ισοσκελούς $\vartriangle CDE$ .

: κατασκευή εγγραψίμου_1.png (22.35 KiB) Προβλήθηκε 626 φορές

Από το Π. Θ. στο $\vartriangle MAC$ , $M{C^2} = 25 - \dfrac{{49}}{4} = \dfrac{{51}}{4}$ και πάλι με Π. Θ. στο $\vartriangle MCD$ έχω : ${x^2} = \dfrac{{51}}{4} + \dfrac{1}{4} = 13 \Rightarrow \boxed{x = \sqrt {13} }$ .

Το τρίγωνο $\vartriangle ADC$ κατασκευάζεται , γράφω και τον περιγεγραμμένο του κύκλο.

Προσδιορίζω στην AD = 4

σημείο

με

. Η κάθετη από το

στην

τέμνει τον κύκλο στο

.
Για την ακτίνα

.
Το ύψος του $\vartriangle DAC$ είναι το $CM = \dfrac{{\sqrt {51} }}{2} \Rightarrow \left( {DAC} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot \dfrac{{\sqrt {51} }}{2} = \sqrt {51}$ και άρα : $\boxed{R = \frac{{5 \cdot 4 \cdot \sqrt {13} }}{{4\sqrt {51} }} = \frac{{5\sqrt {13} }}{{\sqrt {51} }}}$

Κατασκευή εγγραψίμου

Κατασκευή εγγραψίμου

Re: Κατασκευή εγγραψίμου

Re: Κατασκευή εγγραψίμου

Μέλη σε σύνδεση