Εμβαδόν εκ προμελέτης

KARKAR · #1

: Εμβαδόν εκ προμελέτης.png (14.85 KiB) Προβλήθηκε 734 φορές

Η ευθεία $\varepsilon$ είναι παράλληλη προς τη διάμετρο AB=6

, ενός ημικυκλίου , σε απόσταση

από αυτήν .

Επί της $\varepsilon$ κινείται σημείο

, ώστε οι SA , SB

να τέμνουν το ημικύκλιο στα σημεία P , T

αντίστοιχα .

Η προέκταση της

τέμνει την ευθεία στο

. Για ποια θέση του

, προκύπτει : (STQ)=5

;

Υπάρχει περίπτωση να βρούμε συνάρτηση που να αποδίδει αυτό το εμβαδόν ; (

: για έρευνα )

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 02, 2021 7:13 pm
Εμβαδόν εκ προμελέτης.pngΗ ευθεία $\varepsilon$ είναι παράλληλη προς τη διάμετρο , ενός ημικυκλίου , σε απόσταση από αυτήν .

Επί της $\varepsilon$ κινείται σημείο , ώστε οι να τέμνουν το ημικύκλιο στα σημεία αντίστοιχα .

Η προέκταση της τέμνει την ευθεία στο . Για ποια θέση του , προκύπτει : ;

Υπάρχει περίπτωση να βρούμε συνάρτηση που να αποδίδει αυτό το εμβαδόν ; ( : για έρευνα )

Για την διερεύνηση του προβλήματος στην ύπαρξη συνάρτησης που δίνει το πιο πάνω εμβαδόν

Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων xOy

με $O\left( 0,0 \right),A\left( -3,0 \right),B\left( 3,0 \right)$ και την ευθεία με εξίσωση y=5

στην οποία κινούνται τα S,Q

και έστω $S\left( a,5 \right)$ με $-3\le a\le 3$ και ας είναι
$\bullet$ i) -3<a<3

. Τότε ${{\lambda }_{AS}}=\dfrac{5}{a+3}$ και ${{\lambda }_{BS}}=\dfrac{5}{a-3}$ , οπότε λόγω καθετότητας (από το ημικύκλιο) θα είναι ${{\lambda }_{BP}}=-\dfrac{a+3}{5}$ και ${{\lambda }_{AT}}=-\dfrac{5}{a-3}$ . Έτσι έχουμε τις εξισώσεις των ευθειών: $AS:y=\dfrac{5}{a+3}\left( x+3 \right):\left( 1 \right),BP:y=-\dfrac{a+3}{5}\left( x-3 \right):\left( 2 \right)$ και $BS:y=\dfrac{5}{a-3}\left( x-3 \right):\left( 3 \right),AT:y=-\dfrac{5}{a+3}\left( x+3 \right):\left( 3 \right)$
Το σύστημα των εξισώσεων $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ δίνει τις συντεταγμένες του

και το σύστημα των εξισώσεων $\left( 3 \right),\left( 4 \right)$ δίνει τις συντεταγμένες του σημείου

.

: Εμβαδό εκ προμελέτης.png (32.31 KiB) Προβλήθηκε 666 φορές

Βρίσκουμε σχετικά εύκολα … $P\left( \dfrac{3{{\left( a+3 \right)}^{2}}-75}{{{\left( a+3 \right)}^{2}}+25},\dfrac{6\left( a+3 \right)}{{{\left( a+3 \right)}^{2}}+25} \right)$ και $T\left( \dfrac{75-3{{\left( a-3 \right)}^{2}}}{{{\left( a-3 \right)}^{2}}+25},\dfrac{-6\left( a-3 \right)}{{{\left( a-3 \right)}^{2}}+25} \right)\Rightarrow T\left( {{f}_{1}}\left( a \right),{{f}_{2}}\left( a \right) \right)$ , όπου βέβαια ${{f}_{1}}\left( a \right)=\dfrac{75-3{{\left( a-3 \right)}^{2}}}{{{\left( a-3 \right)}^{2}}+25}$ και ${{f}_{2}}\left( a \right)=\dfrac{-6\left( a-3 \right)}{{{\left( a-3 \right)}^{2}}+25}$ .
Αν $Q\left( b,5 \right)$ (επειδή ανήκει στην ευθεία με εξίσωση y=5

) τότε ${{\lambda }_{QP}}={{\lambda }_{QT}}:\left( 5 \right)$ (από την συνευεθειακότητα των P,T,Q

οπότε από την $\left( 5 \right)$ θα έχουμε:
$\dfrac{\dfrac{6\left( a+3 \right)}{{{\left( a+3 \right)}^{2}}+25}-5}{\dfrac{3{{\left( a+3 \right)}^{2}}-75}{{{\left( a+3 \right)}^{2}}+25}-k}=\dfrac{\dfrac{-6\left( a-3 \right)}{{{\left( a-3 \right)}^{2}}+25}-5}{\dfrac{75-3{{\left( a-3 \right)}^{2}}}{{{\left( a-3 \right)}^{2}}+25}-k}$ , από όπου βρίσκουμε το $k={{f}_{3}}\left( a \right)$ (οι πράξεις αφήνονται για αυτούς που δεν έχουν «δουλειές»

)
Για το εμβαδόν του εν λόγω τριγώνου έχουμε: $\left( STQ \right)=f\left( a \right)=\dfrac{1}{2}\left| \det \left( \overrightarrow{ST},\overrightarrow{QT} \right) \right|=\dfrac{1}{2}\left| \left| \begin{matrix} {{f}_{1}}\left( a \right)-a & {{f}_{2}}\left( a \right)-5 \\ {{f}_{1}}\left( a \right)-{{f}_{3}}\left( a \right) & {{f}_{2}}\left( a \right)-5 \\ \end{matrix} \right| \right|$ που είναι και η συνάρτηση που δίνει το εμβαδόν, η μελέτη της οποίας φυσικά αφήνεται προς λογιστική ταλαιπωρία

$\bullet$ ii) Για τις περιπτώσεις a=-3,a=3

η τιμή του εμβαδού είναι συγκεκριμένη

$\bullet$ Για την ειδική περίπτωση του προβλήματος που $\left( STQ \right)=5$ προκύπτει ότι a=-2

και $QB\bot AB$
Η περίπτωση αυτή φαίνεται να αντιμετωπίζεται και με Ευκλείδεια γεωμετρία αφού αποδεικνύεται ότι στη περίπτωση αυτή $PT\cdot TQ=12$ (η απόδειξη (με ευκλείδεια γεωμετρία) αφήνεται στον αναγνώστη και έχει ενδιαφέρον.
Σημείωση : Το σχήμα εμφανίζεται στην ειδική περίπτωση όπου μάλιστα $\angle B={{45}^{0}}$ ή $TO\bot AB$

Την παραπάνω λύση (έστω και "κουτσή"

) αφιερώνω στον αγαπητό φίλο Γιώργο Ρίζο και πιστεύω να του αρέσει

#3

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 07, 2021 3:51 pm

Την παραπάνω λύση (έστω και "κουτσή" ) αφιερώνω στον αγαπητό φίλο Γιώργο Ρίζο και πιστεύω να του αρέσει

Τον αγαπητό Στάθη ευχαριστώ θερμά για την αφιέρωση. Χαρά στο κουράγιο του!

Δεν αναζήτησα άλλη προσέγγιση στο θέμα αυτό. Μόνο με το λογισμικό κάποιες επισημάνσεις:

Τιμή

έχουμε όταν το

είναι στην κορυφή του κύκλου. Τότε S(-2,5)

.

Η συνάρτηση του εμβαδού είναι γνησίως αύξουσα στο [-3,0]

. Οπότε η τιμή αυτή είναι μοναδική.

Κρατώ το θέμα, για κάποια περίοδο που δεν θα είναι τόσο (μα τόσο) πιεσμένο το καθημερινό πρόγραμμά μου.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 02, 2021 7:13 pm
Εμβαδόν εκ προμελέτης.pngΗ ευθεία $\varepsilon$ είναι παράλληλη προς τη διάμετρο , ενός ημικυκλίου , σε απόσταση από αυτήν .

Επί της $\varepsilon$ κινείται σημείο , ώστε οι να τέμνουν το ημικύκλιο στα σημεία αντίστοιχα .

Η προέκταση της τέμνει την ευθεία στο . Για ποια θέση του , προκύπτει : ;

Υπάρχει περίπτωση να βρούμε συνάρτηση που να αποδίδει αυτό το εμβαδόν ; ( : για έρευνα )

$\bullet$ Ας δούμε και την γεωμετρική λύση του προβλήματος που έχει τεθεί (για $\left( STQ \right)=5$ ) τώρα που δεν έχουμε ακόμα δουλειές.
Για τη συνάρτηση που δίνει το εμβαδόν τα είπαμε

Έστω

το κέντρο του ημικυκλίου και E,D

οι ορθές προβολές του

στις

αντίστοιχα. Από την εγγραψιμότητα του τετραπλεύρου BCTP

προκύπτει ότι τα τρίγωνα $\vartriangle SPT,\vartriangle SCB$ είναι όμοια και συνεπώς ο λόγος των υψών του θα ισούται με τον λόγο των ομολόγων βάσεών του. Ετσι θα έχουμε: $\dfrac{SE}{SD}=\dfrac{PT}{BC}\Rightarrow \dfrac{SE}{5}=\dfrac{PT}{6}\Rightarrow SE=\dfrac{5}{6}PT:\left( 1 \right)$
Από $\left( STQ \right)=5\Rightarrow \dfrac{TQ\cdot SE}{2}=5\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{5TQ\cdot TP}{12}=5\Rightarrow TQ\cdot TP=12$
$\bullet$ Έστω ότι η

τέμνει τον περίκυκλο $\left( P,O,Q \right)$ στο σημείο

. Τότε από το Θεώρημα των τεμνομένων χορδών θα ισχύει: $TO\cdot TR=TQ\cdot TP=12\overset{TO=3}{\mathop{\Rightarrow }}\,TR=4:\left( 2 \right)$

: Εμβαδόν εκ προμελέτης.png (45.97 KiB) Προβλήθηκε 578 φορές

$\bullet$ Από το εγγράψιμο τετράπλευρο στον ως άνω κύκλο POQR

προκύπτει ότι $\vartriangle QRT\sim \vartriangle OPT$ και επειδή το $\vartriangle OPT$ είναι ισοσκελές θα είναι ισοσκελές και το $\vartriangle QRT\left( QR=QT \right)$ . Έτσι αν $QM\bot TR\Rightarrow M$ το μέσο της $TR\overset{\left( 2 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,TM=2\Rightarrow OM=5:\left( 3 \right)$ . Αν $OK\bot BC\left( K\in SQ \right)$ τότε είναι (από την εκφώνηση) και $OK=5:\left( 4 \right)$ . Από $\left( 3 \right),\left( 4 \right)$ προκύπτει (λόγω της καθετότητας και της ισότητας) ότι $M\equiv K$ και συνεπώς η μεταβλητή χορδή

του εν λόγω κύκλου θα πάρει τη θέση της χορδής $OL\bot BC\left( OL\bot SQ \right)$ , άρα το

θα πάρει τη θέση του μέσου του ημικυκλίου και το

θα είναι το σημείο τομής της

με την παραλληλη ευθεία προς την

σε απόσταση

από αυτή και έτσι η θέση του

για να ισχύει $\left( SPQ \right)=5$ έχει προσδιοριστεί.
Οι κόκκινες θέσεις είναι οι ζητούμενες...

Εμβαδόν εκ προμελέτης

Εμβαδόν εκ προμελέτης

Re: Εμβαδόν εκ προμελέτης

Re: Εμβαδόν εκ προμελέτης

Re: Εμβαδόν εκ προμελέτης

Μέλη σε σύνδεση