Το συνημίτονο δίνει λόγο

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλό βράδυ! Με αφετηρία πρόσφατο θέμα.

: 27-10 Το συνημίτονο δίνει λόγο.png (168.75 KiB) Προβλήθηκε 509 φορές

Το

είναι το έγκεντρο του τριγώνου ABC

και ο κύκλος (I,IA)

τέμνει τις πλευρές του όπως στο σχήμα.

Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( AFH \right )}{\left ( ZEI \right )}$ ως συνάρτηση του

Εφαρμογή ...

... δώρο σε $\Phi$ ίλους : Αν $\dfrac{\left ( AFH \right )}{\left ( ZEI \right )}=\Phi ^2$ ( $\Phi$ , ο χρυσός αριθμός) να βρεθεί η $\widehat{A}$ .

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 27, 2021 11:51 pm
Καλό βράδυ! Με αφετηρία πρόσφατο θέμα.
27-10 Το συνημίτονο δίνει λόγο.png
Το είναι το έγκεντρο του τριγώνου και ο κύκλος τέμνει τις πλευρές του όπως στο σχήμα.

Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( AFH \right )}{\left ( ZEI \right )}$ ως συνάρτηση του

Εφαρμογή ... ... δώρο σε $\Phi$ ίλους : Αν $\dfrac{\left ( AFH \right )}{\left ( ZEI \right )}=\Phi ^2$ ( $\Phi$ , ο χρυσός αριθμός) να βρεθεί η $\widehat{A}$ .

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Έστω

η ακτίνα του κύκλου. Λόγω της διχοτόμου

τα τρίγωνα AIH, AIF

είναι ίσα και έστω AH=AF=y.

: Το συν δίνει λόγο.png (18.98 KiB) Προβλήθηκε 479 φορές

Ομοίως, λόγω της διχοτόμου CI,

είναι $\displaystyle CZ = CF \Leftrightarrow EZ = y.$ Άρα, $I\widehat EZ=H\widehat AI=\dfrac{\widehat A}{2}$ και $E\widehat IZ=A\widehat IH=180^\circ - \widehat A.$

Νόμος ημιτόνων στο IEZ,

$\dfrac{y}{x}=\dfrac{\sin (180^\circ-A)}{\sin \dfrac{A}{2}}=2\cos \dfrac{A}{2}.$

Τα τρίγωνα AFH, ZEI

έχουν μία γωνία παραπληρωματική, άρα $\dfrac{(AFH)}{(ZEI)}=\dfrac{y^2}{x^2}=4\cos^2 \dfrac{A}{2}\Leftrightarrow$ $\boxed{\dfrac{(AFH)}{(ZEI)}=2(1+\cos A)}}$

Για την εφαρμογή, εύκολα $\cos A= \dfrac{\sqrt 5 -1}{4}$ και $\boxed{\widehat A=72^\circ}$

Το συνημίτονο δίνει λόγο

Το συνημίτονο δίνει λόγο

Re: Το συνημίτονο δίνει λόγο

Μέλη σε σύνδεση