Μεγιστοποίηση και παραλληλία

KARKAR · #1

: Μεγιστοποίηση και παραλληλία.png (8.39 KiB) Προβλήθηκε 398 φορές

Με αφορμή αυτή .

Στην υποτείνουσα

, ορθογωνίου τριγώνου ABC

, ολισθαίνει τμήμα DE=d<a

.

Φέρω τα τμήματα : $DD'\perp AB$ και $EE' \perp AC$ . Εξετάστε αν αληθεύει ο ισχυρισμός ,

ότι το εμβαδόν του τριγώνου AD'E'

, μεγιστοποιείται όταν $D'E'\parallel BC$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 29, 2021 7:57 am
Μεγιστοποίηση και παραλληλία.pngΜε αφορμή αυτή .

Στην υποτείνουσα , ορθογωνίου τριγώνου , ολισθαίνει τμήμα .

Φέρω τα τμήματα : $DD'\perp AB$ και $EE' \perp AC$ . Εξετάστε αν αληθεύει ο ισχυρισμός ,

ότι το εμβαδόν του τριγώνου , μεγιστοποιείται όταν $D'E'\parallel BC$ .

Το τρίγωνο ABC

είναι σταθερό με εμβαδόν έστω $\boxed{\left( {ABC} \right) = T}$ και $\boxed{BE + DC = a - d}$ σταθερό .

Ας είναι K,L

οι προβολές των $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ στις $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ . Τα τρίγωνα $KBE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,LDC$ είναι όμοια με το τρίγωνο ABC

.

$\left( {AD'E'} \right) = \left( {OD'E'} \right)$ όπου

το σημείο διασταύρωσης των $DD'\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EE'$ . Έτσι:

$\left( {AD'E'} \right) = \left( {OD'E'} \right) = \left( {\dfrac{1}{2}bc} \right)km = T \cdot km\,\,\left( 1 \right)$ .

: Ειδική μεγιστοποίηση_γενίκευση.png (25.6 KiB) Προβλήθηκε 376 φορές

Αλλά , $am + ak = a\left( {k + m} \right) = a - d \Rightarrow \boxed{k + m = \dfrac{{a - d}}{a}}$ σταθερό και άρα το εμβαδόν

που εκφράζει ή $\left( 1 \right)$ γίνεται μέγιστο όταν: $k = m = \dfrac{{a - d}}{{2a}} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} BE = \dfrac{{a - d}}{2} \hfill \\ DC = \dfrac{{a - d}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Δηλαδή τα $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ απέχουν εξ ίσου από τα άκρα $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ συνεπώς D'E'//BC

.

Ή αλλιώς : $\dfrac{{AD'}}{{AE'}} = \dfrac{{ck}}{{bm}} = \dfrac{c}{b}$ ( αφού k = m

) και άρα D'E'//BC

.

nickchalkida · #3

Επειδή το εμβαδόν του ορθογωνίου ABNC

είναι σταθερό, και το (CD + EB)

σταθερό
αλλά και τα σημειωμένα με E εμβαδά ίσα, (ως διαφορές παραπληρωμάτων περί την διαγώνιο), θα είναι

$\displaystyle{ \begin{aligned} & (AD'E')_{max} = (E + E)_{max} = \cr & (E_1 + E_2)_{min} = (CD^2 + EB^2)_{min} = \cr & ((CD + EB)^2-2 \cdot CD\cdot EB)_{min} = \cr & (CD \cdot EB)_{max} \end{aligned} }$

και επειδή το

είναι σταθερό, το γινόμενο μεγιστοποιείται όταν CD=EB

.
Τότε $\triangle CLD = \triangle EKB$ (μία πλευρά και παρά την βάση γωνίες ίσες), άρα

$\displaystyle{ \left \{ \begin{aligned} & LD=KB=AD' \cr & CL = EK = E'A \cr \end{aligned} \right. }$

οπότε και τό τρίγωνο AD'E'

θα είναι ίσο με αυτά,
από όπου προκύπτει η ισότητα όλων των κόκκινων γωνιών και η παραλληλία.
(ελπίζω η χρήση του

σαν εμβαδόν και σαν σημείο να μην δημιουργεί σύγχυση)

Μεγιστοποίηση και παραλληλία

Μεγιστοποίηση και παραλληλία

Re: Μεγιστοποίηση και παραλληλία

Re: Μεγιστοποίηση και παραλληλία

Μέλη σε σύνδεση