Κατασκευή και ημίτονο

#1

: Κατασκευή και ημίτονο.png (14.61 KiB) Προβλήθηκε 654 φορές

Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου AB=2R

και ένα σημείο

στην προέκταση του AB.

Α) Να κατασκευάσετε τέμνουσα

SCD

του ημικυκλίου, ώστε ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία C, D

και έχει το κέντρο του

πάνω στο ημικύκλιο,

να εφάπτεται της

σε ένα σημείο έστω

Β) Αν $\displaystyle A\widehat SD = \theta$ και το

είναι μέσο του

να υπολογίσετε το $\displaystyle \sin \theta.$

KARKAR · #2

: Bisb.png (17.53 KiB) Προβλήθηκε 596 φορές

Το ότι το

είναι το μέσο του

, είναι ίσως το πιο πολυπαιγμένο θέμα του φόρουμ .

Από το

φέρω το εφαπτόμενο τμήμα

και γράφω τον κύκλο (S , ST)

, ο οποίος

τέμνει την

στο

. Το κάθετο τμήμα

, μας δίνει το κέντρο του κύκλου .

Επειδή : SM=ST=x+y

, είναι :

.

Η επίλυση του συστήματος δίνει : $x=y=\dfrac{2r}{3}$ και με λίγες πράξεις : $NM=\dfrac{r\sqrt{2}}{3}$ ,

οπότε : $\tan\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ και στην συνέχεια : $\sin\theta=\dfrac{1}{3}$

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 14, 2021 2:12 pm
Κατασκευή και ημίτονο.png Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου και ένα σημείο στην προέκταση του Α) Να κατασκευάσετε τέμνουσα

του ημικυκλίου, ώστε ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία και έχει το κέντρο του πάνω στο ημικύκλιο,

να εφάπτεται της σε ένα σημείο έστω

Β) Αν $\displaystyle A\widehat SD = \theta$ και το είναι μέσο του να υπολογίσετε το $\displaystyle \sin \theta.$

: κατασκευή κι ημίτονο.png (19.18 KiB) Προβλήθηκε 584 φορές

Αν φέρω από το σταθερό

τα εφαπτόμενα τμήματα στο ημικύκλιο και στον κύκλο αυτά θα είναι ίσα αφού η $\overline {DCS}$ είναι ο ριζικός τους άξονας.

Δηλαδή SE = SZ = u

. Ας είναι SB = a

σταθερό και έστω MB = k

.

Τα

προσδιορίζεται από την τομή του κύκλου $\left( {S,u} \right)$ με την διάμετρο

, $\boxed{u = \sqrt {a(a + 2R)} }$

β) Επειδή $\left\{ \begin{gathered} k = u - a \hfill \\ {d^2} = K{M^2} = k\left( {2R - k)} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

και το σημείο τομής ,

, της

με

είναι το μέσο της ακτίνας KM = d

θα έχω:

$\boxed{\sin \theta = \frac{d}{{\sqrt {4{u^2} + {d^2}} }} = \frac{{\sqrt {\left( {a + R} \right)\sqrt {a\left( {a + 2R} \right)} - a\left( {a + 2R} \right)} }}{{\sqrt {\left( {a + R} \right)\sqrt {a\left( {a + 2R} \right)} + a\left( {a + 2R} \right)} }}}$

π.χ. αν $a = 2\,\,\kappa \alpha \iota \,\,R = 3$ θα προκύψει: $\boxed{\sin \theta = \sqrt {\frac{{5\sqrt {16} - 16}}{{5\sqrt {16} + 16}}} = \sqrt {\frac{4}{{36}}} = \frac{1}{3}}$

παρατήρηση
Δεν έκλεψα, απλώς η λύση είναι σχεδόν μονόδρομος
την αφήνω για τον κόλπο και τον τελικό τύπο

Κατασκευή και ημίτονο

Κατασκευή και ημίτονο

Re: Κατασκευή και ημίτονο

Re: Κατασκευή και ημίτονο

Μέλη σε σύνδεση