Ισότητα και διαφορά

KARKAR · #1

: Ισότητα και διαφορά.png (18.4 KiB) Προβλήθηκε 324 φορές

Σε τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ είναι "εγγεγραμμένο" το τετράγωνο OPQT

. Θεωρούμε σημείο

του $\overset{\frown}{QB}$ ,

ώστε : $\widehat{QTS}=45^0$ . Ο κύκλος (Q,S,T)

, τέμνει την

στο σημείο

και την

στο

.

α) Δείξτε ότι : TS=TC

... β) Υπολογίστε την διαφορά : $\phi-\theta$ , δηλαδή την : $\widehat{DAQ}-\widehat{PDA}$ .

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 15, 2020 11:05 am
Ισότητα και διαφορά.pngΣε τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ είναι "εγγεγραμμένο" το τετράγωνο . Θεωρούμε σημείο του $\overset{\frown}{QB}$ ,

ώστε : $\widehat{QTS}=45^0$ . Ο κύκλος , τέμνει την στο σημείο και την στο .

α) Δείξτε ότι : ... β) Υπολογίστε την διαφορά : $\phi-\theta$ , δηλαδή την : $\widehat{DAQ}-\widehat{PDA}$ .

: 230.PNG (52.23 KiB) Προβλήθηκε 283 φορές

α)
Έστω

το συμμετρικό του

ως προς το

,το οποίο προφανώς θα ανήκει στον κύκλο (O,OA)

.Τα τρίγωνα $\Delta LTS,\Delta TSO$ έχουν LT=LO,TS

κοινή και $\angle LTS=\angle OTS=135^{\circ}$ άρα είναι ίσα και LOS

ισόπλευρο που δίνει $\angle TSO=30^{\circ} \&\angle SOT=15^{\circ}$ .Επίσης $\angle SCT=\angle SQT=\angle SQL=30^{\circ}$ και το ζητούμενο έπεται.
β) Αρχικά αν PQC'

ισόπλευρο στο εσωτερικό του TQPO

τότε προκύπτει εύκολα ότι $\angle COT=\angle OTC=15^{\circ}\Leftrightarrow C\equiv C'$ άρα PQC

ισόπλευρο.Το TQC

θα είναι ισοσκελές οπότε εύκολα $\angle PCT=135^{\circ}\Leftrightarrow \angle TQK=45^{\circ}$ δηλαδή O,K,Q

συνευθειακά.
Οπότε από το ισοσκελές OAQ

εύκολα βλέπουμε πως $\angle QAO=67,5^{\circ}$ και έτσι :
$\left\{\begin{matrix} & \angle KPO=\vartheta +\angle KAP & \\ & 67.5^{\circ}=\angle KAP+\varphi & \end{matrix}\right.\overset{\angle KPO=30^{\circ}}{\Rightarrow } \boxed{37.5=\varphi -\vartheta ^{\circ}}$

Ισότητα και διαφορά

Ισότητα και διαφορά

Re: Ισότητα και διαφορά

Μέλη σε σύνδεση