Γεωμετρικός μέσος 2

KARKAR · #1

: Γεωμετρικός μέσος.png (11.54 KiB) Προβλήθηκε 697 φορές

Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ισοσκελές και τα M,N

μέσα των ίσων πλευρών του .

Στην

θεωρώ τυχόν σημείο

. Εντοπίστε - κατά προτίμηση κατασκευαστικά -

σημείο

της

, ώστε το

να είναι ο γεωμετρικός μέσος των BS,CP

.

Αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο , δείξτε ότι : MN<SP

.

#2

: Γεωμετρικός μέσος 2.png (23.62 KiB) Προβλήθηκε 667 φορές

Η κατασκευή

#3

Για την κατασκευή.

: Γ.Μ.png (11.44 KiB) Προβλήθηκε 631 φορές

Ο κύκλος $\displaystyle \left( {B,\frac{{BC}}{2}} \right)$ τέμνει την κάθετη από το

στην

στο σημείο

Στη συνέχεια φέρνω την κάθετη από το

στην

που τέμνει την

στο

Τέλος, η παράλληλη από το

στην

τέμνει την

στο ζητούμενο σημείο

Πράγματι, $\displaystyle B{H^2} = BS \cdot BE \Leftrightarrow M{N^2} = BS \cdot CP$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 30, 2018 8:30 pm
Γεωμετρικός μέσος.pngΤο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ισοσκελές και τα μέσα των ίσων πλευρών του .

Στην θεωρώ τυχόν σημείο . Εντοπίστε - κατά προτίμηση κατασκευαστικά -

σημείο της , ώστε το να είναι ο γεωμετρικός μέσος των .

Αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο , δείξτε ότι : .

Για την περίπτωση του ισοπλεύρου.

: Γ.Μ.2.png (10.56 KiB) Προβλήθηκε 589 φορές

Έστω

η πλευρά του ισοπλεύρου και BS=x.

Τότε θα είναι $\displaystyle CP = \frac{{{a^2}}}{{4x}}$ και με νόμο συνημιτόνων στο ASP:

$\displaystyle S{P^2} = A{S^2} + A{P^2} - AS \cdot AP = {(a - x)^2} + {\left( {a - \frac{{{a^2}}}{{4x}}} \right)^2} - (a - x)\left( {a - \frac{{{a^2}}}{{4x}}} \right) \Leftrightarrow$

$\displaystyle S{P^2} = {x^2} - ax - \frac{{{a^3}}}{{4x}} + \frac{{{a^4}}}{{16{x^2}}} + \frac{{3{a^2}}}{4} = {\left( {x + \frac{{{a^2}}}{{4x}}} \right)^2} - a\left( {x + \frac{{{a^2}}}{{4x}}} \right) + \frac{{{a^2}}}{4} \Leftrightarrow$

$\displaystyle S{P^2} = {\left( {x + \frac{{{a^2}}}{{4x}} - \frac{a}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow SP = x + \frac{{{a^2}}}{{4x}} - \frac{a}{2} = {\left( {\sqrt x - \frac{a}{{2\sqrt x }}} \right)^2} + \frac{a}{2} \ge \frac{a}{2}$

με την ισότητα να ισχύει όταν $x=\dfrac{a}{2},$ δηλαδή όταν το

ταυτιστεί με το MN.

Σε κάθε άλλη θέση είναι $\boxed{SP>MN}$

KARKAR · #5

: Γεωμετρικός μέσος.png (17.52 KiB) Προβλήθηκε 570 φορές

Αν

το μέσο της βάσης

, τότε :

. Γράφω τον κύκλο κέντρου

,

ο οποίος εφάπτεται στα ίσα σκέλη στα σημεία Q,T

. Η εφαπτομένη σ' αυτόν από το

,

δίνει απευθείας τη θέση του

, αφού είναι απλό να δείξουμε ότι : $BS\cdot CP=BO^2$ .

Στο ισόπλευρο , είναι ενδιαφέρον να μελετήσουμε τη μεταβολή του

, καθώς το

κινείται μεταξύ των οριακών του θέσεων

(σημείο επαφής ) και

. Ας επισημανθεί

ότι είναι : $BQ=CT=\dfrac{a}{4}$ και SP=SQ+TP

κ.λ.π. Σε κάθε περίπτωση

έχουμε ήδη "καβαντζάρει" την λύση του Γιώργου

Γεωμετρικός μέσος 2

Γεωμετρικός μέσος 2

Re: Γεωμετρικός μέσος 2

Re: Γεωμετρικός μέσος 2

Re: Γεωμετρικός μέσος 2

Re: Γεωμετρικός μέσος 2

Μέλη σε σύνδεση