Συντρέχουσες ευθείες

#1

: Συντρέχουσες ευθείες..png (19.9 KiB) Προβλήθηκε 1071 φορές

Έστω δύο παράλληλες χορδές AB, CD

ενός κύκλου (O)

και

το μέσο του

(τα

προς το ίδιο μέρος της

ευθείας

). Οι

επανατέμνουν τον κύκλο στα σημεία H, E

αντίστοιχα. Να δείξετε ότι οι CE, DH

και

οι εφαπτόμενες του κύκλου στα A, B

διέρχονται από το ίδιο σημείο

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 12, 2018 1:29 pm
Συντρέχουσες ευθείες..png
Έστω δύο παράλληλες χορδές ενός κύκλου και το μέσο του (τα προς το ίδιο μέρος της ευθείας ). Οι επανατέμνουν τον κύκλο στα σημεία αντίστοιχα. Να δείξετε ότι οι και οι εφαπτόμενες του κύκλου στα διέρχονται από το ίδιο σημείο

: Συντρέχουσες ευθειες.png (30.95 KiB) Προβλήθηκε 973 φορές

Με το μέσο της χορδής $AB \Rightarrow OM \bot AB\mathop \Rightarrow \limits^{CD\parallel AB} OM \bot CD\mathop \Rightarrow \limits^{CD\,\,\chi o\rho \delta \eta } OM$ μεσοκάθετη της και έστω $K\equiv OM\cap CD$ .

Τότε $MC = MD \Rightarrow \angle HCM \equiv \angle MCD = \angle MDC \equiv$ $\angle EMC \Rightarrow \tau o\xi .HD = \tau o\xi .EC \Rightarrow EH\parallel CD\parallel AB$ οπότε το είναι ισοσκελές τραπέζιο και

$OM\mathop \bot \limits^{AB\parallel EH} EH$ συνεπώς αν $L\equiv OM\cap EH$ (προφανώς το μέσο της ) , προκύπτει ότι $P\equiv CE\cap KML\cap DH$ και ας είναι ${A}'\equiv PC\cap AB,{B}'\equiv PD\cap AB$ .

Από το πλήρες τετράπλευρο προκύπτει ότι η σειρά $\left( P,L,M,K \right)$ είναι αρμονική και με $EH\parallel {A}'{B}'\parallel CD$ προκύπτει ότι και οι σειρές

$\left( P,E,{A}',C \right),\left( P,H,{B}',D \right)$ είναι αρμονικές , άρα τα ανήκουν στην πολική του ως προς τον κύκλο $\left( O \right)$ , συνεπώς η ${A}'{B}'\equiv AB$ είναι η πολική του

ως προς τον κύκλο $\left( O \right)$ και με $A,B\in \left( O \right)$ προκύπτει ότι οι εφαπτόμενες του $\left( O \right)$ στα διέρχονται από το και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

giannimani · #3

: symmath1.png (39.8 KiB) Προβλήθηκε 922 φορές

Έστω

το σημείο τομής των εφαπτομένων του κύκλου (O)

στα σημεία του

και

. Για να αποδείξουμε ότι οι ευθείες

και

διέρχονται επίσης από το

, αρκεί να αποδείξουμε ότι αυτές είναι συμμετροδιάμεσοι των τριγώνων CAB

και

αντίστοιχα.
Συμβολίζουμε με

το σημείο του κύκλου (O)

στο οποίο τέμνονται οι διχοτόμοι των γωνιών ACB

και

(εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο). Επομένως, αρκεί να αποδείξουμε ότι $\angle HCK =\angle KCM$ και $\angle EDK = \angle KDM$ (ορισμός συμμετροδιαμέσου).
Οι παραπάνω γωνιακές ισότητες προκύπτουν εύκολα, εφόσον η διακεντρική ευθεία

είναι άξονας συμμετρίας (το $\vartriangle PAB$ είναι ισοσκελές, και οι χορδές

και

είναι παράλληλες).

#4

Αφού ευχαριστήσω τον Στάθη και τον giannimani για τις απαντήσεις τους, θα δώσω την προσέγγισή μου.

: Συντρέχουσες ευθείες.ΙΙ.png (24.56 KiB) Προβλήθηκε 828 φορές

Οι

τέμνονται σε ένα σημείο

πάνω στη μεσοκάθετο του AB.

Αρκεί να δείξω ότι η

εφάπτεται στον κύκλο.

$O\widehat CE = O\widehat {E}C = {90^0} - \theta = {90^0} - D\widehat MB = O\widehat MD,$ άρα το OMEC

είναι εγγράψιμο.

$PM \cdot PO = PE \cdot PC = P{O^2} - {R^2} = P{O^2} - O{A^2} \Leftrightarrow$

$O{A^2} = P{O^2} - PO \cdot PM = (PO - PM)PO \Leftrightarrow O{A^2} = OM \cdot OP \Leftrightarrow OA \bot AP$ και το ζητούμενο έπεται.

Συντρέχουσες ευθείες

Συντρέχουσες ευθείες

Re: Συντρέχουσες ευθείες

Re: Συντρέχουσες ευθείες

Re: Συντρέχουσες ευθείες

Μέλη σε σύνδεση