MIA ΓΝΩΣΤΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Η παρακάτω ανισότητα είναι μάλλον γνωστή...

Να αποδειχθεί ότι σε τρίγωνο ABC

ισχύει ότι $a^{2}< R^{2}+b^{2}+c^{2}.$

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 02, 2026 7:48 pm
Η παρακάτω ανισότητα είναι μάλλον γνωστή...

Να αποδειχθεί ότι σε τρίγωνο ισχύει ότι $a^{2}< R^{2}+b^{2}+c^{2}.$

.
Πριν την λύση σχολιάζω ότι το πρόβλημα είναι στα αμβλυγώνια τρίγωνα διότι για τα ορθογώνια και τα οξυγώνια είναι $a^2 \le b^2+c^2$ , οπότε το ζητούμενο είναι άμεσο.

Λήμμα. Για όλα τα τρίγωνα είναι $\sin B \sin C \cos A \ge -\dfrac {1}{8}$ .

Πράγματι, για

οξεία ή ορθή δεν έχουμε τίποτα να αποδείξουμε, οπότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι

αμβλεία, και άρα $\cos A <0$ . Ειδικά, αν $0<X \le 1$ τότε $X\cos A \ge \cos A$ . Άρα

$\sin B \sin C \cos A = \dfrac {1}{2} [ \cos (B-C) - \cos (B+C) ]\cos A = \dfrac {1}{2} [ \cos (B-C) - \cos (180-A) ]\cos A =$

$= \dfrac {1}{2} [ \cos (B-C) + \cos A]\cos A = \dfrac {1}{2} \cos ^2 A + \dfrac {1}{2} \cos (B-C) \cos A \ge$

$\ge \dfrac {1}{2} \cos ^2 A - \dfrac {1}{2} \cos A= \dfrac {1}{2} \left (\cos A - \dfrac {1}{2} \right )^2- \dfrac {1}{8} > -\dfrac {1}{8}$ , όπως θέλαμε.

Πίσω στο αποδεικτέο. Από τον Νόμο των συνημιτόνων και μετά των ημιτόνων έχουμε

$a^2 -b^2 -c^2 = -2bc \cos A = -2(2R\sin B) (2R \sin C) \cos A = -8R^2\sin B \sin C \cos A \le$

$\le 8 R^2 \cdot \dfrac {1}{8}= R^2$ , από όπου το ζητούμενο.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Να ευχαριστήσω το Μιχάλη Λάμπρου για τη λύση.
Θα μπορούσε κάποιος να αναρωτηθεί για τη σκοπιμότητα που είχα όταν πρότεινα αυτήν την ανισότητα.
Ο λόγος είναι ότι η ανισότητα αυτή προκύπτει από μια απόσταση, συγκεκριμένα από την απόσταση της κορυφής τριγώνου από το κέντρο $O_{9}$ του κύκλου Euler.
Aς το δούμε πιο αναλυτικά...

Ως δεδομένα θα θεωρήσουμε τα παρακάτω:

$AH^{2}=4R^{2}-a^{2}$

$HO^{2}=9R^{2}-\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$

To $O_{9}$ είναι το μέσο του HO.

To μόνο που έχω να κάνω είναι να εφαρμόσω ρο 1ο Θεώρημα Διαμέσου στο τρίγωνο AHO.

$\displaystyle AH^{2}+AO^{2}=2AO_{9}^{2}+\frac{HO^{2}}{2}\Rightarrow$

$\displaystyle 4R^{2}-a^{2}+R^{2}=2AO_{9}^{2}+\frac{9R^{2}-\left( a^{2} +b^{2}+c^{2}\right)}{2}$

το οποίο συνεπάγεται ότι

$\displaystyle AO_{9}^{2}=\frac{R^{2}+ b^{2} +c^{2}-a^{2}}{4}\Rightarrow AO_{9} =\frac{\sqrt{R^{2}+ b^{2} +c^{2}-a^{2}}}{2}$

H ανισότητα που προτάθηκε εκφράζει μια χειροπιαστή απόσταση...

#4

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 05, 2026 2:22 pm
$\displaystyle AO_{9} =\frac{\sqrt{R^{2}+ b^{2} +c^{2}-a^{2}}}{2}$

H ανισότητα που προτάθηκε εκφράζει μια χειροπιαστή απόσταση...

.

MIA ΓΝΩΣΤΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

MIA ΓΝΩΣΤΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: MIA ΓΝΩΣΤΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: MIA ΓΝΩΣΤΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: MIA ΓΝΩΣΤΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Μέλη σε σύνδεση