Κατασκευή και ημίτονο

#1

Σε τρίγωνο ABC

έχουμε, με τους συνήθεις συμβολισμούς, a=2h_a, bc=m_a^2.

Να κατασκευάσετε το

τρίγωνο αν είναι γνωστή μόνο η πλευρά BC=a

και να υπολογίσετε το $\sin A,$ αν δεν το έχετε ήδη κάνει.

duamba · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 14, 2025 11:29 am
Σε τρίγωνο έχουμε, με τους συνήθεις συμβολισμούς, Να κατασκευάσετε το

τρίγωνο αν είναι γνωστή μόνο η πλευρά και να υπολογίσετε το $\sin A,$ αν δεν το έχετε ήδη κάνει.

Για την κατασκευή, χρησιμοποιώντας το θεώρημα διαμέσων βλέπουμε ότι:

$b^2 + c^2 = 2m_a^2 + \frac{a^2}{2} \Leftrightarrow$
$b^2 + c^2 = 2bc + \frac{a^2}{2} \Leftrightarrow$
$b^2 + c^2 - 2bc = \frac{a^2}{2} \Leftrightarrow$
$(b - c)^2 = \frac{a^2}{2} \Leftrightarrow$
$b - c = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Άρα η διαφορά των πλευρών

και

είναι ίση με την μισή διαγώνιο τετραγώνου πλευράς

.

Σχεδιάζουμε αυτό το τετράγωνο και κύκλο $U = (B, \frac{a\sqrt{2}}{2})$ .
Φέρνουμε παράλληλη της

σε απόσταση $\frac{a}{2}$ και την ονομάζουμε $\epsilon$ .

Ψάχνουμε ισοσκελές τρίγωνο, σκέλους

, με την κορυφή του να βρίσκεται στην $\epsilon$ ,
τη μια γωνία στο άκρο

της

, και την άλλη γωνία

επάνω στον κύκλο

, έτσι ώστε
τα A,I,B

να είναι συνευθειακά.

Με άλλα λόγια το ζητούμενο

είναι το κέντρο κύκλου που περνάει απο τα C,D

και εφάπτεται του

.
(Απολλώνιο πρόβλημα ΣΣΚ)

Για λόγους που δεν έχω αποκωδικοποιήσει ακόμα, το σημείο

εντοπίζεται και ως η τομή του

με τον κύκλο

, όπου

το μέσο του

.

: kataskevi.png (41.23 KiB) Προβλήθηκε 467 φορές

#3

Εκκρεμεί ο υπολογισμός του $\sin A.$

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 14, 2025 11:29 am
Σε τρίγωνο έχουμε, με τους συνήθεις συμβολισμούς, Να κατασκευάσετε το

τρίγωνο αν είναι γνωστή μόνο η πλευρά και να υπολογίσετε το $\sin A,$ αν δεν το έχετε ήδη κάνει.

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 19, 2025 1:26 pm
Εκκρεμεί ο υπολογισμός του $\sin A.$

Aπό το εμβαδόν έχουμε $\dfrac {1}{2} a \cdot \dfrac {a} {2}= \dfrac {1}{2} ah_a=E= \dfrac {1}{2} bc\sin A$ , άρα $2bc= \dfrac {a^2}{\sin A} ,\,(*)$

Επίσης

$b^2 + c^2 = 2m_a^2 + \dfrac{a^2}{2} = 2bc + \dfrac{a^2}{2}$ άρα $b^2 + c^2 -a^2= 2bc - \dfrac{a^2}{2}$ οπότε από τον Νόμο των συνημιτόνων

$2bc \cos A = 2bc - \dfrac{a^2}{2}$ , άρα

$\dfrac{a^2}{2} = 2bc(1-\cos A)= ^{(*)}\dfrac {a^2}{\sin A}(1-\cos A)$ .

Έπεται από απλοποίηση των a^2

ότι

$\dfrac{1}{2} = \dfrac {1-\cos A}{\sin A}$ , ισοδύναμα $2\cos A = 2- \sin A$ .

Στο τετράγωνο δίνει $4(1-\sin ^2A)=(2-\sin A)^2= 4-4\sin A + \sin ^2A$ , ισοδύναμα

$4 \sin A =5 \sin ^2A$ από όπου $\boxed {\sin A = \dfrac {4}{5}}$

Κατασκευή και ημίτονο

Κατασκευή και ημίτονο

Re: Κατασκευή και ημίτονο

Re: Κατασκευή και ημίτονο

Re: Κατασκευή και ημίτονο

Μέλη σε σύνδεση