Τραπεζιακοί υπολογισμοί

[KARKAR]

Τραπεζιακοί υπολογισμοί.png (42.74 KiB) Προβλήθηκε 1112 φορές

Στο τραπέζιο του σχήματος σχεδιάσαμε τα "βόρεια" ημικύκλια διαμέτρων και ,

τα οποία τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε την διαφορά : .

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Τραπεζιακοί υπολογισμοί.pngΣτο τραπέζιο του σχήματος σχεδιάσαμε τα "βόρεια" ημικύκλια διαμέτρων και ,

τα οποία τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε την διαφορά : .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

. Η λύση το απόγευμα αν δεν απαντηθεί μέχρι τότε

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Τραπεζιακοί υπολογισμοί.pngΣτο τραπέζιο του σχήματος σχεδιάσαμε τα "βόρεια" ημικύκλια διαμέτρων και ,

τα οποία τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε την διαφορά : .

Λήμμα

Σε τραπέζιο (),με διαμέτρους τις διαγώνιες αυτού ,κατασκευάζουμε κύκλους που τέμνονται στα σημεία κι έστω το σημείο τομής των
Τότε τα σημεία καθώς και τα ορθόκεντρα των τριγώνων είναι συνευθειακά

(Σε επόμενη ανάρτηση θα δοθεί η απόδειξη του παραπάνω λήμματος)


Σύμφωνα με το παραπάνω λήμμα , συνευθειακά και

Λόγω των διαμέτρων οι γωνίες είναι ορθές και ισχύει



Άρα

Έτσι και

Από Ήρωνα ,βρίσκουμε εύκολα ότι κι από Π.Θ στο τρίγωνο



Τώρα ,

Τραπεζιακοί υπολογισμοί 1.png (60.12 KiB) Προβλήθηκε 1064 φορές

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Λήμμα

Σε τραπέζιο (),με διαμέτρους τις διαγώνιες αυτού ,κατασκευάζουμε κύκλους που τέμνονται στα σημεία κι έστω το σημείο τομής των
Τότε τα σημεία καθώς και τα ορθόκεντρα των τριγώνων είναι συνευθειακά

Απόδειξη

Έστω το σημείο τομής των .Επειδή διάμετροι,θα είναι

ορθόκεντρο του τριγώνου

Επομένως οι πράσινες γωνίες είναι ίσες,συνεπώς εγγράψιμμο σε κύκλο .

Έτσι οι κοινές χορδές των κύκλων του σχήματος συγκλίνουν στο ριζικό κέντρο αυτών

Αν τώρα τα μέσα των θα είναι άρα

ύψη των τριγώνων συνεπώς τα ορθόκεντρα αυτών ανήκουν στην

Λήμμα.png (53.92 KiB) Προβλήθηκε 1046 φορές

[Dimessi]

Έστω τα μέσα των διαγωνίων του τραπεζίου που είναι τα κέντρα των κύκλων που έχουν διαμέτρους τις διαγώνιες αυτές και με
Φέρουμε τα ύψη του τριγώνου Επειδή οι μαύρες γωνίες είναι ορθές τα ανήκουν στους Τότε, έχουμε Όμως αντιπαράλληλη της άρα εγγράψιμο. Οπότε άρα το ανήκει στον ριζικό άξονα των που είναι ευθεία που περνάει από το και είναι κάθετη στην Οπότε από τη συνθήκη καθετότητας και με ομοιότητα από τις παράλληλες πλευρές του τραπεζιου προσδιορίζεται εύκολα η διαφορά

Ριζικό!.png (376.66 KiB) Προβλήθηκε 994 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Δημέτρη, ευχαριστούμε, πέρα από την ωραία λύση, για την επιμέλεια στο σχήμα.

Μπορεί να γίνει μία ακόμη μικρή βελτίωση στην αισθητική του σχήματος: Όπως βλέπεις, τα γράμματα κ.α. είναι πάνω στις γραμμές. οπότε είναι με δυσκολία ορατά. Ένας τρόπος να το διευθετήσεις είναι, όταν σχεδιάζεις με Geogebra, να σύρεις με το ποντίκι το κάθε γράμμα στην θέση που επιθυμείς.