Το τρίτο τμήμα 19

KARKAR · #1

: Το τρίτο τμήμα 19.png (23.54 KiB) Προβλήθηκε 291 φορές

Το

είναι ορθογώνιο με τις κορυφές B , D

στον κύκλο (O,4)

. Αξιοποιώντας

τα ( λίγα αλλά επαρκή ) δεδομένα που φαίνονται στο σχήμα , υπολογίστε το τμήμα

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 10, 2025 9:30 pm
Το τρίτο τμήμα 19.pngΤο είναι ορθογώνιο με τις κορυφές στον κύκλο . Αξιοποιώντας

τα ( λίγα αλλά επαρκή ) δεδομένα που φαίνονται στο σχήμα , υπολογίστε το τμήμα .

.
Tο ενδιαφέρον είναι ότι υπάρχουν άπειρα ορθογώνια με τις παραπάνω προδιαγραφές αλλά όλα δίνουν την ίδια τιμή για το x=OC

.

Από το Θεώρημα των διαμέσων σε καθένα από τα τρίγωνα OAC, OBD

έχουμε

$x^2+OA^2= 2OK^2+ \dfrac {CA^2}{2}$

$OB^2+OD^2= 2OK^2+ \dfrac {BD^2}{2}$

Αλλά τα δεξιά μέλη είναι ίσα διότι AC=BD

(διαγώνιες ορθογωνίου). Επίσης είναι OB=OD=4

και

. Άρα εξισώνοντας τα αριστερά μέλη έχουμε

x^2+26= 4^2+4^2

, οπότε $\boxed {x=\sqrt 6}$
.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 10, 2025 9:30 pm
Το τρίτο τμήμα 19.pngΤο είναι ορθογώνιο με τις κορυφές στον κύκλο . Αξιοποιώντας

τα ( λίγα αλλά επαρκή ) δεδομένα που φαίνονται στο σχήμα , υπολογίστε το τμήμα .

Πρώτα- πρώτα $OA = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {26} \,\,\,\left( 1 \right)$ . Το

είναι σταθερό και γύρω απ’ αυτό στρέφεται ορθή γωνία της οποίας

Οι πλευρές τέμνουν το κύκλο $\left( {O,4} \right)$ στα $B\,\,,\,\,D$ . Ζητάμε πρωτίστως το γ. τ. του μέσου

της χορδής

.

Όπως ο Κ. Λάμπρου : Από 1ο Θ. διαμέσων στο , $\vartriangle NOA$ έχουμε , $N{O^2} + N{A^2} = 2N{L^2} + \dfrac{{O{A^2}}}{2}$

ή λόγω της $\left( 1 \right)$ , $N{O^2} + N{A^2} = 2{d^2} + 13\,\,\left( 2 \right)$
.

: Το τρίτο τμήμα 19.png (32.9 KiB) Προβλήθηκε 231 φορές

.
Αλλά από επειδή , NA = NB

( διάμεσος προς υποτείνουσα ) θα ισχύει ακόμα.

$N{A^2} = N{B^2} = O{B^2} - N{O^2} = 16 - N{O^2} \Rightarrow N{A^2} + N{O^2} = 16\,\,\,\left( 3 \right)$

Έτσι τώρα η $\left( 2 \right)$ λόγω της $\left( 3 \right)$ μας δίδει: $2{d^2} + 13 = 16 \Rightarrow {d^2} = \dfrac{3}{2}$ κι επειδή , $x = 2d \Rightarrow {x^2} = 4{d^2} = 4 \cdot \dfrac{3}{2} = 6 \Rightarrow \boxed{x = \sqrt 6 }$

Δηλαδή τα σημεία

και

ανήκουν σε σταθερούς κύκλους .

Δείτε κι αυτό

Καθώς ακόμα Εδώ

#4

Η λύση μου είναι στην ουσία ίδια με του Μιχάλη. Συντομεύεται απλώς
από τη γνωστή άσκηση 3 της παραγράφου 9.6 του σχολικού βιβλίου.

$\displaystyle {OC^2} + O{A^2} = O{B^2} + O{D^2} = 2{r^2} \Leftrightarrow {x^2} = 2{r^2} - O{A^2}$

Η δοσμένη τιμή της ακτίνας

και οι συντεταγμένες του

δίνουν το τελικό αποτέλεσμα.

Το τρίτο τμήμα 19

Το τρίτο τμήμα 19

Re: Το τρίτο τμήμα 19

Re: Το τρίτο τμήμα 19

Re: Το τρίτο τμήμα 19

Μέλη σε σύνδεση