Διπλάσια πλευρά

KARKAR · #1

: Διπλάσια πλευρά.png (22.33 KiB) Προβλήθηκε 230 φορές

Το τμήμα

, έχει μέσο το

. Γράφουμε τους κύκλους (O, 3)

και

, οι οποίοι τέμνονται

στα σημεία A , B

. Η

τέμνει τον (O)

στο

και η

τον

στο

. Δείξτε ότι : PS=2PA

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 07, 2025 7:50 am
Διπλάσια πλευρά.pngΤο τμήμα , έχει μέσο το . Γράφουμε τους κύκλους και , οι οποίοι τέμνονται

στα σημεία . Η τέμνει τον στο και η τον στο . Δείξτε ότι : .

Υπόδειξη .

$\dfrac{{OM}}{{OD}} = \dfrac{{TM}}{{TD}} \Leftrightarrow \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ άρα η τετράδα , $\left( {O,T\backslash M,D} \right)$ είναι αρμονική κι αφού $DA \bot AM$ θα είναι , ${a_1} = {a_2}$ .

: Διπλάσια πλευρά.png (39.43 KiB) Προβλήθηκε 219 φορές

$\vartriangle ASP \approx \vartriangle AOK\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle KAM \approx \vartriangle PAN$ άρα PA = PN

ενώ $AN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AM$ ομόλογοι διάμεσοι των όμοιων

$\vartriangle ASP \approx \vartriangle AOK\,$ . Έτσι : AP = PN = NS

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 07, 2025 7:50 am
Διπλάσια πλευρά.pngΤο τμήμα , έχει μέσο το . Γράφουμε τους κύκλους και , οι οποίοι τέμνονται

στα σημεία . Η τέμνει τον στο και η τον στο . Δείξτε ότι : .

: Διπλάσια πλευρά.png (17.35 KiB) Προβλήθηκε 219 φορές

Άμεσο από την ομοιότητα των τριγώνων AOK, ASP.

KARKAR · #4

Καλό ! Κάτι ακόμη : Δείξτε ότι : MS=2MA

( κατά προτίμηση ανεξάρτητα από το αρχικό ερώτημα ) .

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 07, 2025 10:07 am
Καλό ! Κάτι ακόμη : Δείξτε ότι : ( κατά προτίμηση ανεξάρτητα από το αρχικό ερώτημα ) .

Από Θεώρημα διαμέσων στο OAK

είναι $\displaystyle AM = \frac{{\sqrt {10} }}{2}$

Αλλά, $\displaystyle AM \cdot SM = O{A^2} - O{M^2} = 5 \Leftrightarrow SM = \sqrt {10} = 2AM$

KARKAR · #6

: Διπλάσια πλευρά.png (24.74 KiB) Προβλήθηκε 206 φορές

...Και από αντίστροφο του θεωρήματος της διχοτόμου , απαντάμε και στο πρώτο ερώτημα .

Κάπως έτσι σχημάτισα την εντύπωση πως κατασκεύασα μια αρκετής δυσκολίας άσκηση ...

αλλά ήρθε η Ίντερ και προσγείωσε την Μπαρτσελόνα

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 07, 2025 11:14 am
Διπλάσια πλευρά.png ...Και από αντίστροφο του θεωρήματος της διχοτόμου , απαντάμε και στο πρώτο ερώτημα .

Κάπως έτσι σχημάτισα την εντύπωση πως κατασκεύασα μια αρκετής δυσκολίας άσκηση ...

αλλά ήρθε η Ίντερ και προσγείωσε την Μπαρτσελόνα

Ο Διαιτητής και το VAR

. Στο

( και όχι μόνο ) προηγείται σαφέστατο επιθετικό φάουλ . Δύο πέναλτι δεν έδωσε στον πιτσιρικά της Μπάρτσα

αλλά το VAR

"είδε" πέναλτι, για την Ίντερ , μετά από αρκετά λεπτά ενώ δεν ήταν!

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 07, 2025 7:50 am
Διπλάσια πλευρά.pngΤο τμήμα , έχει μέσο το . Γράφουμε τους κύκλους και , οι οποίοι τέμνονται

στα σημεία . Η τέμνει τον στο και η τον στο . Δείξτε ότι : .

Από δεύτερο θ.διαμέσου στο τρίγωνο AOK

παίρνουμε $MT=\dfrac{5}{8} \Rightarrow QT=1-\dfrac{5}{8}= \dfrac{3}{8}$

Από $AQ^2=QT.QN\Rightarrow AQ= \dfrac{3}{2}$ .Άρα $\dfrac{AO}{AQ} =2= \dfrac{OM}{MQ} \Rightarrow AQ//OS \Rightarrow \dfrac{MS}{MA}=2$

κι επειδή

διχοτόμος της $\angle APS\Rightarrow PS=2AP$

Ακόμη ,η

διχοτομεί την $\angle OAQ$

: Διπλάσια πλευρά.png (46.87 KiB) Προβλήθηκε 173 φορές

Διπλάσια πλευρά

Διπλάσια πλευρά

Re: Διπλάσια πλευρά

Re: Διπλάσια πλευρά

Re: Διπλάσια πλευρά

Re: Διπλάσια πλευρά

Re: Διπλάσια πλευρά

Re: Διπλάσια πλευρά

Re: Διπλάσια πλευρά

Μέλη σε σύνδεση