Τμήμα και γωνία

KARKAR · #1

: Τμήμα και γωνία.png (12.34 KiB) Προβλήθηκε 482 φορές

Στο εσωτερικό του - πλευράς

- τετραγώνου ABCD

, γράψαμε το ημικύκλιο διαμέτρου

. Το

είναι

σημείο της

, τέτοιο ώστε : $AS=\dfrac{a}{3}$ . Οι DS , DB

, τέμνουν το τόξο στα σημεία N , M

αντίστοιχα .

α) Υπολογίστε το τμήμα

... β) Υπολογίστε την : $\tan\theta , (\theta=\widehat{MNC} )$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 05, 2025 7:58 am
Τμήμα και γωνία.pngΣτο εσωτερικό του - πλευράς - τετραγώνου , γράψαμε το ημικύκλιο διαμέτρου . Το είναι

σημείο της , τέτοιο ώστε : $AS=\dfrac{a}{3}$ . Οι , τέμνουν το τόξο στα σημεία αντίστοιχα .

α) Υπολογίστε το τμήμα ... β) Υπολογίστε την : $\tan\theta , (\theta=\widehat{MNC} )$ .

Το

είναι μέσο του ημικυκλίου κέντρου

. Επειδή, $\dfrac{{SO}}{{SA}} = \dfrac{{BO}}{{BA}} \Leftrightarrow \dfrac{k}{{2k}} = \dfrac{{3k}}{{6k}}$ η τετράδα $\left( {A,O\backslash S,B} \right)$ είναι αρμονική .

Έτσι και η δέσμη : $N\left( {A,O\backslash S,B} \right)$ είναι αρμονική κι αφού $AN \bot NB$ ( $\widehat {ANB}$ βαίνει σ ημικύκλιο ) η

διχοτομεί την $\widehat {SNM}$ .

Όμως $\widehat {BNM} = \dfrac{1}{2}\widehat {BOM} = 45^\circ$ και αναγκαστικά , $\widehat {BNM} = \widehat {SNB} = \widehat {ANS} = 45^\circ$ .

Μετά απ’ αυτά οι $MO\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NS$ τέμνονται στο νότιο πόλο

του $\vartriangle NAB$ .

Από την ομοιότητα των $\vartriangle NMP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle OPS$ και με NM = x

έχω : $\dfrac{{NP}}{{OP}} = \dfrac{{MP}}{{PS}} = \dfrac{{NM}}{{OS}} \Rightarrow \dfrac{{NP}}{{3k}} = \dfrac{{6k}}{{PS}} = \dfrac{x}{k}$ .

: Τμήμα και γωνία_ok.png (39.01 KiB) Προβλήθηκε 463 φορές

Από την 1η και 3η αναλογία έχω , NP = 3x

και από το Π. Θ. στο $\vartriangle NPM$ ,

${\left( {6k} \right)^2} = {x^2} + {\left( {3x} \right)^2} \Rightarrow 36{k^2} = 10{x^2}$ αφού δε a = 6k

προκύπτει: $a = x\sqrt {10} \Leftrightarrow \boxed{x = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{{10}}}$

β) Επειδή $\widehat {BND} = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$ , το

είναι περίκεντρο του $\vartriangle BND$ , συνεπώς CN = CB

.

Έτσι το

είναι το άλλο εφαπτόμενο τμήμα στο ημικύκλιο από το

με συνέπεια :

$\displaystyle \boxed{\tan \theta = \tan \omega = \dfrac{{OS}}{{OP}} = \dfrac{k}{{3k}} = \dfrac{1}{3}}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 05, 2025 7:58 am
Τμήμα και γωνία.pngΣτο εσωτερικό του - πλευράς - τετραγώνου , γράψαμε το ημικύκλιο διαμέτρου . Το είναι

σημείο της , τέτοιο ώστε : $AS=\dfrac{a}{3}$ . Οι , τέμνουν το τόξο στα σημεία αντίστοιχα .

α) Υπολογίστε το τμήμα ... β) Υπολογίστε την : $\tan\theta , (\theta=\widehat{MNC} )$ .

Με

συμμετρικό του

ως προς

το

είναι κ.βάρους του τριγώνου EDB

συνεπώς

μέσον της

και

προφανώς είναι τετράγωνο εγγεγραμμένο στον κύκλο διαμέτρου

άρα $\angle MNZ=90^0$

Έτσι είναι προφανής η ισότητα των πράσινων γωνιών του σχήματος και είναι γνωστό ότι

η

εφάπτεται του ημικυκλίου (Θα γράψω την απόδειξη αν μου ζητηθεί ) άρα η κόκκινη γωνία $\theta$

ισούται με την πράσινη $\phi$ οπότε $tan \theta =tan \phi = \dfrac{AS}{AD}= \dfrac{1}{3}$

Ακόμη με $DM=\dfrac{a \sqrt{2} }{2} ,MZ=a, \angle DMZ=135^0$ ο ν.συνημιτόνου δίνει $DZ= \dfrac{a \sqrt{10} }{2}$

$MZ//DA\Rightarrow 4(DMZ)=4(DAM )\Rightarrow DZ.MN=a^2 \Rightarrow a \sqrt{10}=a^2 \Rightarrow MN= \dfrac{a \sqrt{10} }{10}$

: τμήμα και γωνία.png (29.61 KiB) Προβλήθηκε 423 φορές

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 05, 2025 7:58 am
Τμήμα και γωνία.pngΣτο εσωτερικό του - πλευράς - τετραγώνου , γράψαμε το ημικύκλιο διαμέτρου . Το είναι

σημείο της , τέτοιο ώστε : $AS=\dfrac{a}{3}$ . Οι , τέμνουν το τόξο στα σημεία αντίστοιχα .

α) Υπολογίστε το τμήμα ... β) Υπολογίστε την : $\tan\theta , (\theta=\widehat{MNC} )$ .

Λήμμα: είναι το μέσο της πλευράς τετραγώνου και η τέμνει το ημικύκλιο

διαμέτρου στο Αν η τέμνει την στο τότε $AS=\dfrac{a}{3}$ και η εφάπτεται του ημικυκλίου.

: Τμήμα και γωνία.ΚΑ.png (14.74 KiB) Προβλήθηκε 393 φορές

Στην άσκησή μας τώρα, αν

είναι το μέσο του DS,

τότε η

εφάπτεται του ημικυκλίου όπως και η CN,

άρα η γωνία $\theta=P\widehat MN$ που είναι ίση με την $A\widehat DS$ ως οξείες με πλευρές κάθετες. Οπότε, $\boxed{\tan \theta=\frac{1}{3}}$

$\displaystyle \cos \theta = \frac{3}{{\sqrt {10} }}$ και $PM=\dfrac{a}{3},$ ως διάμεσος του τραπεζίου SOKD,

άρα $\boxed{MN = PM\cos \theta = \frac{a}{{\sqrt {10} }}}$

Σε επόμενη ανάρτηση θα αποδείξω το λήμμα που χρησιμοποίησα.

#5

Λήμμα: είναι το μέσο της πλευράς τετραγώνου και η τέμνει το ημικύκλιο

διαμέτρου στο Αν η τέμνει την στο τότε $AS=\dfrac{a}{3}$ και η εφάπτεται του ημικυκλίου.

: Λήμμα.Β.png (12.7 KiB) Προβλήθηκε 370 φορές

Απόδειξη:

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle KN \cdot KA = KM \cdot KT \Leftrightarrow KN \cdot \frac{{a\sqrt 5 }}{2} = \frac{a}{2} \cdot \frac{{3a}}{2} \Leftrightarrow KN = \frac{{3a}}{{2\sqrt 5 }}$ και $\displaystyle AN = \frac{a}{{\sqrt 5 }}.$

Αλλά, $\displaystyle \frac{{AN}}{{NK}} = \frac{{AS}}{{DK}},$ απ' όπου με αντικατάσταση των τιμών παίρνω $\boxed{AS=\frac{a}{3}}$

$\displaystyle \bullet$ Είναι $\displaystyle \cos (N\widehat KC) = \cos (90^\circ + \varphi ) = - sin\varphi = - \frac{1}{{\sqrt 5 }}$ και με νόμο συνημιτόνου στο KNC

προκύπτει $\boxed{CN=a=CB}$ άρα η

εφάπτεται στο ημικύκλιο.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

Λήμμα: Σε τετράγωνο ABCD

πλευράς

θεωρούμε σημείο

εσωτερικό της

με $AS= \dfrac{a}{3}$
Αν η

τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

στο

,τότε η

εφάπτεται του ημικυκλίου

Απόδειξη

Η

τέμνει το κάτω ημικύκλιο στο

και την

στο

Είναι $\dfrac{AD}{OZ} =2= \dfrac{AS}{SO} \Rightarrow AD//ZO \Rightarrow ZO \bot AB$

και προφανώς

μεσοκάθετος της

άρα

Από το εγγράψιμμο $NHLC\Rightarrow a.DL=DN.DH=2DN.DZ=2a^2 \Rightarrow DL=2a \Rightarrow DC=CL=CN=BC=a$

συνεπώς η

εφάπτεται του ημικυκλίου

: τμήμα και γωνία1.png (35.66 KiB) Προβλήθηκε 355 φορές

Τμήμα και γωνία

Τμήμα και γωνία

Re: Τμήμα και γωνία

Re: Τμήμα και γωνία

Re: Τμήμα και γωνία

Re: Τμήμα και γωνία

Re: Τμήμα και γωνία

Μέλη σε σύνδεση