Ριζικός άξονας

[giannimani]

Οι διαγώνιες του εγγεγραμμένου σε κύκλο τετραπλεύρου , τέμνονται στο σημείο .
Κύκλος εφάπτεται των ευθυγράμμων τμημάτων και στα σημεία και αντίστοιχα και του κύκλου στο
σημείο . Να αποδείξετε ότι το σημείο ανήκει στο ριζικό άξονα των κύκλων και .

mixt.png (49.81 KiB) Προβλήθηκε 494 φορές

[giannimani]

Για την τριάδα των κύκλων , και έχουμε:
Η ευθεία είναι ο ριζικός άξονας των κύκλων και .
Η ευθεία είναι ο ριζικός άξονας των κύκλων και .
Επομένως, ο ριζικός άξονας των κύκλων και θα διέρχεται από το .

Φέρουμε τώρα την κοινή εφαπτομένη των κύκλων και στο σημείο .
Για την τριάδα των κύκλων , και και έχουμε:
Η ευθεία είναι ο ριζικός άξονας των κύκλων και .
Η ευθεία είναι ο ριζικός άξονας των κύκλων και .
Επομένως, από το σημείο τομής τους, έστω , θα διέρχεται και ο ριζικός άξονας
των κύκλων και , και εφόοον το σημείο είναι κοινό σημείο των
κύκλων και , ο ριζικός άξονας αυτών των κύκλων θα είναι η ευθεία .
Με όμοια επιχειρηματολογία η ευθεία είναι ο ριζικός άξονας των κύκλων και .

exer.png (53.05 KiB) Προβλήθηκε 289 φορές

Στο τρίγωνο ο είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου. Τα ευθύγραμμα τμήματα , και συνδέουν
τις κορυφές με τα σημεία επαφής των απέναντι πλευρών με τον εγγεγραμμένο κύκλο. Είναι γνωστό ότι διέρχονται
από το σημείο Gergonne του τριγώνου, έστω (αποδεικνύεται με τη χρήση του θεωρήματος Ceva).

Για την τριάδα των κύκλων , και έχουμε:
Η ευθεία είναι ο ριζικός άξονας των κύκλων και .
Η ευθεία είναι ο ριζικός άξονας των κύκλων και .
Επομένως, ο ριζικός άξονας των των κύκλων και θα διέρχεται από το .
Δηλαδή, η ευθεία (από και ) είναι
ο ριζικός άξονας των των κύκλων και , και .