Απλή κατασκευή , δύσκολος τόπος

KARKAR · #1

: Απλή κατασκευή , δύσκολος τόπος.png (4.43 KiB) Προβλήθηκε 315 φορές

Στις πλευρές AB , AD

, του - πλευράς

- τετραγώνου ABCD

, επιλέξτε σημεία S , T ,

αντίστοιχα , τέτοια ώστε η περίμετρος του τριγώνου AST

, να ισούται με το μισό εκείνης

του τετραγώνου . Βρείτε και τον γεωμετρικό τόπο του μέσου

, της υποτείνουσας

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 01, 2025 11:20 am
Απλή κατασκευή , δύσκολος τόπος.pngΣτις πλευρές , του - πλευράς - τετραγώνου , επιλέξτε σημεία

αντίστοιχα , τέτοια ώστε η περίμετρος του τριγώνου , να ισούται με το μισό εκείνης

του τετραγώνου . Βρείτε και τον γεωμετρικό τόπο του μέσου , της υποτείνουσας .

Με αρχή των αξόνων το

είναι $S(s,0), \, T(0,t)$ . Αν

το μήκος της πλευράς του τετραγώνου, η υπόθεση για την περίμετρο γράφεται

$2a= AS+AT+ST= s+t+\sqrt {s^2+t^2}$ . 'Αρα s^2+t^2= [2a-(s+t)]^2

από όπου $2a(s+t)-st=2a^2, \, (*)$

Τώρα, οι συντεταγμένες του M (x,y)

είναι $M \left (\dfrac {s}{2} , \dfrac {t}{2} \right )$ , δηλαδή $x= \dfrac {s}{2} , y= \dfrac {t}{2}$ . Θέτοντας τις τιμές αυτές στην (*)

μας δίνει τον ζητούμενο γεωμετρικό τόπο, με εξίσωση (μετά τις απλοποιήσεις)

$\boxed {a(x+y)-xy= \frac {a^2}{2}}$ (υπερβολή της οποίας κρατάμε μόνο το τμήμα εντός του τετραγώνου).

Απλή κατασκευή , δύσκολος τόπος

Απλή κατασκευή , δύσκολος τόπος

Re: Απλή κατασκευή , δύσκολος τόπος

Μέλη σε σύνδεση