Αναλόγως

KARKAR · #1

: Αναλόγως.png (9.22 KiB) Προβλήθηκε 471 φορές

Σχεδιάστε ένα τρίγωνο ABC

, στο οποίο αν η κάθετη

, από το

προς τη διάμεσο

τέμνει την

στο σημείο

, να προκύπτουν οι λόγοι : $\dfrac{AS}{SM}=\dfrac{3}{2}$ και : $\dfrac{AT}{TC}=\dfrac{3}{4}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 06, 2024 9:31 pm
Αναλόγως.pngΣχεδιάστε ένα τρίγωνο , στο οποίο αν η κάθετη , από το προς τη διάμεσο

τέμνει την στο σημείο , να προκύπτουν οι λόγοι : $\dfrac{AS}{SM}=\dfrac{3}{2}$ και : $\dfrac{AT}{TC}=\dfrac{3}{4}$ .

.
Υπάρχουν άπειρα τέτοια τρίγωνα (μη όμοια μεταξύ τους): Παίρνουμε τυχαίο

, και έστω

το μέσον του. Γράφουμε ημικύκλιο διαμέτρου

και παίρνουμε τυχαίο

στο ημικύκλιο. Αυτό θα μας εξασφαλίσει ότι $BS \perp SM$ . Προεκτείνουμε το

μέχρι το

έτσι ώστε $\dfrac{AS}{SM}=\dfrac{3}{2}$ . Φέρνουμε την

και προεκτείνουμε την

μέχρι να τμήσει στην

στο

. H κατασκευή μας είναι έτοιμη αλλά πρέπει να ελέγξουμε ότι

$\dfrac{AT}{TC}=\dfrac{3}{4}$ .

Αυτό ισχύει διότι από Μενέλαο στο AMC

με διατέμνουσα την

έχουμε

$\displaystyle{1= \dfrac{AT}{TC}\cdot \dfrac{CB}{BM}\cdot\dfrac{MS}{SA}= \dfrac{AT}{TC}\cdot \dfrac{2}{1}\cdot\dfrac{2}{3}}$

από όπου το ζητούμενο.

Για κάθε

στο ημικύκλιο έχουμε άλλο σχήμα που ικανοποιεί τους περιορισμούς.
.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 06, 2024 9:31 pm
Αναλόγως.pngΣχεδιάστε ένα τρίγωνο , στο οποίο αν η κάθετη , από το προς τη διάμεσο

τέμνει την στο σημείο , να προκύπτουν οι λόγοι : $\dfrac{AS}{SM}=\dfrac{3}{2}$ και : $\dfrac{AT}{TC}=\dfrac{3}{4}$ .

Έστω ευθύγραμμο τμήμα

και

το μέσο του . Γράφω ( ας πούμε βόρειο) ημικύκλιο διαμέτρου

.

Έστω τυχαίο σημείο

του ημικυκλίου προς την μεριά του

. Προεκτείνω το

προς το

κατά τμήμα $SA = \dfrac{3}{2}SM$ .

: Αναλόγως_ok.png (14.55 KiB) Προβλήθηκε 437 φορές

Η ευθεία

τέμνει την ευθεία

στο

. Από το του Μενέλαου στο $\vartriangle AMC$ με διατέμνουσα την $\overline {BST}$ προκύπτει :

$\boxed{\frac{{AT}}{{TC}} = \frac{3}{4}}$

Δεν είδα τη λύση του κ. Λάμπρου . Την αφήνω για τον κόπο .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 06, 2024 9:31 pm
Αναλόγως.pngΣχεδιάστε ένα τρίγωνο , στο οποίο αν η κάθετη , από το προς τη διάμεσο

τέμνει την στο σημείο , να προκύπτουν οι λόγοι : $\dfrac{AS}{SM}=\dfrac{3}{2}$ και : $\dfrac{AT}{TC}=\dfrac{3}{4}$ .

Θεωρούμε τον κύκλο διαμέτρου

και τυχαίο σημείο του

Φέρνουμε την ME=//CD

και προεκτείνουμε την

κατά $EA= \dfrac{MS}{2}$ .

Το ABC

είναι το ζητούμενο τρίγωνο

Πράγματι, $\dfrac{SA}{SM} = \dfrac{3}{2}$ και $\dfrac{AT}{TC}= \dfrac{AS}{DC}= \dfrac{AS}{2SM}= \dfrac{3}{4}$

: Αναλόγως.png (33.58 KiB) Προβλήθηκε 419 φορές

Αναλόγως

Αναλόγως

Re: Αναλόγως

Re: Αναλόγως

Re: Αναλόγως

Μέλη σε σύνδεση