Προοδευτικοί λόγοι

#1

: Προοδευτικός λόγος.png (13.74 KiB) Προβλήθηκε 390 φορές

Σε τρίγωνο ABC

είναι $\displaystyle \cos A = - \frac{1}{4}$ και τα μήκη των πλευρών c, b, a

είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

Προεκτείνω την

κατά τμήμα AE=AC

και γράφω τον περίκυκλο του AEC

που τέμνει την

στο

Να

βρείτε τους λόγους $\displaystyle \frac{{AD}}{{EC}},\frac{{BD}}{{DC}}.$

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 21, 2024 6:35 pm
Προοδευτικός λόγος.png
Σε τρίγωνο είναι $\displaystyle \cos A = - \frac{1}{4}$ και τα μήκη των πλευρών είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

Προεκτείνω την κατά τμήμα και γράφω τον περίκυκλο του που τέμνει την στο Να

βρείτε τους λόγους $\displaystyle \frac{{AD}}{{EC}},\frac{{BD}}{{DC}}.$

Υποθέτω

το μήκος της πλευράς

. Με

τη διαφορά της αρ προόδου , $AB = x - w\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC = x + w$ .

Από το Θ. συνημίτονου θα έχω : ${\left( {x + w} \right)^2} = {x^2} + {\left( {x - w} \right)^2} - 2x\left( {x - w} \right)\left( { - \dfrac{1}{4}} \right)$ από την οποία προκύπτει : $x = 3w\,\,$

Έτσι αν , $AB = 2k\,\, \Rightarrow BC = 4k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC = 3k\,\,,k > 0$ .

: Προοδευτικοί λόγοι_ok.png (20.32 KiB) Προβλήθηκε 315 φορές

Τα τρίγωνα $EBC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,DBA$ είναι όμοια οπότε, $\boxed{\frac{{EB}}{{DB}} = \frac{{EC}}{{DA}} = \frac{{BC}}{{BA}} = \frac{{4k}}{{2k}} = 2 \Rightarrow \frac{{AD}}{{EC}} = \frac{1}{2}}$

Επειδή , $BD \cdot BC = BA \cdot BE \Rightarrow 4k \cdot BD = 2k \cdot 5k$ και άρα $\left\{ \begin{gathered} BD = \frac{{5k}}{2} \hfill \\ DC = 4k - \frac{{5k}}{2} = \frac{{3k}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{5}{3}}$

Προοδευτικοί λόγοι

Προοδευτικοί λόγοι

Re: Προοδευτικοί λόγοι

Re: Προοδευτικοί λόγοι

Μέλη σε σύνδεση