Βάλε μέσο για το μέσο .

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10777
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Βάλε μέσο για το μέσο .

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Αύγ 12, 2023 9:28 pm

Βάλε μέσο για το μέσο.png
Βάλε μέσο για το μέσο.png (17.56 KiB) Προβλήθηκε 826 φορές
Στο \vartriangle ABC είναι , BC = 2AB . Φέρνω τη διχοτόμο BD. Η κάθετη στην BD στο B και η από το C παράλληλη στην AB τέμνονται στο E.

Αν M το σημείο τομής των BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DE, δείξετε ότι το M είναι το μέσο του BC.

Κάθε λύση δεκτή (Αλλά για λόγους διδακτικούς όχι το αντίστροφο) .


Λέξεις Κλειδιά:
Μέσο
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4770
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Βάλε μέσο για το μέσο .

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Αύγ 12, 2023 11:28 pm

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 12, 2023 9:28 pm
 Βάλε μέσο για το μέσο.png
Στο \vartriangle ABC είναι , BC = 2AB . Φέρνω τη διχοτόμο BD. Η κάθετη στην BD στο B και η από το C παράλληλη στην AB τέμνονται στο E.

Αν M το σημείο τομής των BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DE, δείξετε ότι το M είναι το μέσο του BC.

Κάθε λύση δεκτή (Αλλά για λόγους διδακτικούς όχι το αντίστροφο) .
Η δέσμη B.ADCE ειναι αρμονική ( απο εσωτερική και εξωτερική διχοτόμο ) και απο BA||EC προκύπτει οτι το C ειναι το μέσο της EP, όπου P το σημείο τομής της BD με την ευθεία EC.

Απο το θεώρημα της κεντρικής δέσμης ( και λόγω της παραλληλίας ) θα ειναι και A το μέσον της BQ , όπου Q το σημείο τομής της EMD με την ευθεία BA επομένως BQ=2AB=EC και με BQ||CE το τετραπλευρο BQCE ειναι παράλληλογραμο ( δυο απέναντι πλευρές του ίσες και παράλληλες) οποτε οι διαγωνιες του διχοτομούνται , αρα το M ειναι το μέσο και της BC και το ζητούμενο εχει αποδειχτεί

Σημείωση : να πω μονο οτι BC=CE=CP αφού BC ειναι (πλέον ) διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου BEQ


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Κορυφή
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 3271
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Βάλε μέσο για το μέσο .

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Αύγ 13, 2023 12:12 am

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 12, 2023 9:28 pm
 Βάλε μέσο για το μέσο.png
Στο \vartriangle ABC είναι , BC = 2AB . Φέρνω τη διχοτόμο BD. Η κάθετη στην BD στο B και η από το C παράλληλη στην AB τέμνονται στο E.

Αν M το σημείο τομής των BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DE, δείξετε ότι το M είναι το μέσο του BC.

Κάθε λύση δεκτή (Αλλά για λόγους διδακτικούς όχι το αντίστροφο) .
Η κάθετη από το C στη διχοτόμο BD τέμνει την BA στο Z οπότε BZ=BC κι επειδή

BC=2AB το A θα είναι μέσον της BZ

Είναι όμως (θ.διχοτόμου) CD=2DA ,επομένως το D είναι κ.βάρους του τριγώνου ZBC

άρα η ZD περνά από το μέσον M της BC

Επειδή η BE είναι διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας Β και CE//AB θα είναι BC=CE=//BZ και

το ZBEC είναι παραλ/μμο άρα και η ZDM περνά από το E
Βάλε μέσο για το μέσο.png
Βάλε μέσο για το μέσο.png (22.23 KiB) Προβλήθηκε 781 φορές


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 6142
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:
Επικοινωνία S.E.Louridas

Re: Βάλε μέσο για το μέσο .

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Αύγ 13, 2023 1:24 pm

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 12, 2023 9:28 pm
 Στο \vartriangle ABC είναι , BC = 2AB . Φέρνω τη διχοτόμο BD. Η κάθετη στην BD στο B και η από το C παράλληλη στην AB τέμνονται στο E. Αν M το σημείο τομής των BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DE, δείξετε ότι το M είναι το μέσο του BC.
Για λόγους πολυφωνίας και μόνο.

Θα εργαστούμε με τη μέθοδο της εις άτοπο απαγωγής, συγκεκριμένα έχουμε:

Έστω ότι το σημείο M δεν είναι το μέσο της πλευράς BC. Τότε ονομάζουμε Q το μέσο της BC. Το συμμετρικό L του A ως προς το Q

θα είναι σημείο της CE και μάλιστα EL=BA=LC.

Λόγω της συμμετρίας ως προς BD παίρνουμε \angle DQB=\angle BAD.

Από τη καθαρή ισότητα των τριγώνων ABC, CQE προκύπτει \angle EQC = \angle BAD = \angle DQB που σημαίνει ότι το σημείο Q

θα ανήκει στην ευθεία DE δηλαδή ότι θα ταυτίζεται με το σημείο M.

Αυτό όμως είναι άτοπο, άρα το σημείο M θα είναι το μέσο της πλευράς BC.
zzxx.png
zzxx.png (43.57 KiB) Προβλήθηκε 718 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Κορυφή
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2702
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Βάλε μέσο για το μέσο .

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Κυρ Αύγ 13, 2023 6:34 pm

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 12, 2023 9:28 pm
 Βάλε μέσο για το μέσο.png
Στο \vartriangle ABC είναι , BC = 2AB . Φέρνω τη διχοτόμο BD. Η κάθετη στην BD στο B και η από το C παράλληλη στην AB τέμνονται στο E.

Αν M το σημείο τομής των BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DE, δείξετε ότι το M είναι το μέσο του BC.

Κάθε λύση δεκτή (Αλλά για λόγους διδακτικούς όχι το αντίστροφο) .
AB//CE\Rightarrow \dfrac{c}{CE}=\dfrac{AG}{GC}=\dfrac{GB}{GE},
Ακόμη (A,C) αρμονικά συζηγή (G,D) ΑραAD=\dfrac{DC}{2},AG=\dfrac{GC}{2}
Οπότε A μέσο του GC και B μέσο του GE οπότε το τρίγωνο DGE είναι ισοσκελές
\dfrac{AL}{CE}=\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow AL=AB=c,BL=BC,LK=KC δηλαδή το σημείο D είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου BLC και Mμέσο του BC
Συνημμένα
Βάλε μέσο για το μέσο.png
Βάλε μέσο για το μέσο.png (22.72 KiB) Προβλήθηκε 668 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης