Η γωνία μας δουλεύει

cool geometry · #1

Έστω τραπέζιο $ABCD(AD\left | \right |BC),$ με AB=AD.

Αν $5\cdot \measuredangle DAC=3\cdot \measuredangle ACD=15\cdot \measuredangle BAC,$ να υπολογισθεί το μέτρο της γωνίας $\measuredangle BAC.$

#2

cool geometry έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 26, 2022 4:24 pm
Έστω τραπέζιο $ABCD(AD\left | \right |BC),$ με Αν $5\cdot \measuredangle DAC=3\cdot \measuredangle ACD=15\cdot \measuredangle BAC,$ να υπολογισθεί το μέτρο της γωνίας $\measuredangle BAC.$

Είτε δεν βλέπω κάτι ή η άσκηση έχει κάποιο τυπογραφικό σφάλμα: Το παρακάτω σχήμα ικανοποιεί όλες τις υποθέσεις αλλά η $\theta = \measuredangle BAC$ δεν υπολογίζεται. Είναι αυθαίρετη στο διάστημα $(0^o,\, 15^o)$ . Edit αργοτερα: Τελικά με κάποιες πράξεις ακόμα, το $\theta$ δεν είναι αυθαίρετο αλλά προσδιορίζεται. Βλέπεπε το επόμενο ποστ. Προσοχή όμως, το επόμενο ποστ έχει ένα σοβαρό κενό στον τελικό προσδιορισμό της γωνίας.

Αν κάνω λάθος επειδή γράφω βιαστηκά, ζητώ συγνώμη. Θα το δω αργότερα γιατί τώρα πάω σε μια δουλειά και έχω αργήσει.

cool geometry · #3

$\boldsymbol{\bigtriangleup ABD:\frac{BD}{AD}=\frac{\eta \mu 4\vartheta }{\eta \mu \left ( 90^{0}-2\vartheta \right )}(1).}$
$\boldsymbol{\bigtriangleup ACD:\frac{AD}{CD}=\frac{\eta \mu 5\vartheta }{\eta \mu 3\vartheta }(2).}$
$\boldsymbol{\bigtriangleup BCD:\frac{BD}{CD}=\frac{\eta \mu 8\vartheta }{\eta \mu \left ( 90^{0} -2\vartheta \right )}(3).}$
$\boldsymbol{(1),(2),(3)\Rightarrow \frac{\eta \mu 8\vartheta }{\sigma \upsilon \nu 2\vartheta }=\frac{\eta \mu 4\vartheta }{\sigma \upsilon \nu 2\vartheta }\cdot \frac{\eta \mu 5\vartheta }{\eta \mu 3\vartheta }\Leftrightarrow \vartheta =10^{0}.}$
Επομένως υπάρχει λύση.

#4

cool geometry έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 26, 2022 6:29 pm
$\frac{\eta \mu 8\vartheta }{\sigma \upsilon \nu 2\vartheta }=\frac{\eta \mu 4\vartheta }{\sigma \upsilon \nu 2\vartheta }\cdot \frac{\eta \mu 5\vartheta }{\eta \mu 3\vartheta }\Leftrightarrow \vartheta =10^{0}.}$

cool geometry, με ενδιαφέρει να δω πως αποδεικνύεις αυτήν την ισοδυναμία. Εννοώ, πως χειρίζεσαι το τεχνικό μέρος, τις πράξεις κ.λπ., όχι το σκεπτικό.

#5

Πράγματι, το μεν σχήμα που που ανάρτησα είναι σωστό αλλά δεν βγαίνει ότι η $\theta$ είναι αυθαίρετη καθώς υπάρχουν και άλλες σχέσεις μεταξύ των στοιχείων του.

Προσοχή όμως το βήμα εδώ

cool geometry έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 26, 2022 6:29 pm

$\boldsymbol{(1),(2),(3) {\color {red} \Rightarrow } \frac{\eta \mu 8\vartheta }{\sigma \upsilon \nu 2\vartheta }=\frac{\eta \mu 4\vartheta }{\sigma \upsilon \nu 2\vartheta }\cdot \frac{\eta \mu 5\vartheta }{\eta \mu 3\vartheta }}$

είναι αναγκαία συνθήκη αλλά χρειαζόμαστε ικανή και αναγκαία για να πούμε οτι η τιμή που βρήκαμε με την επίλυση των εξισώσεων είναι λύση του αρχικού προβλήματος.

Edit: Βλέπω ότι και ο Κώστας έγραψε ένα σχόλιο, όσο έγραφα. Πρόκειται για επιπρόσθετο θέμα, που δεν συγκρούεται με αυτό που γράφω.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #6

Προς τον cool geometry.
Σαν συνάδελφος μαθηματικός θέλω να γράψω δυο απλά πράγματα.
Αν το θέμα αυτό έπεφτε σε διαγωνισμό ή σε εξετάσεις και κάποιος έγραφε τη λύση που έγραψες, πιστεύεις ότι θα έπαιρνε όλες τις μονάδες του θέματος;
Το πώς καταλήγεις στη γωνία απαιτεί εξήγηση, όπως έγραψε ο Κώστας Ρεκούμης.
Το κάθε βήμα της λύσης που δημοσιεύουμε απαιτεί αιτιολόγηση, έτσι είναι τα Μαθηματικά...
Μας παρακολουθούν και παιδιά, μην το ξεχνάς...

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

cool geometry έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 26, 2022 4:24 pm
Έστω τραπέζιο $ABCD(AD\left | \right |BC),$ με Αν $5\cdot \measuredangle DAC=3\cdot \measuredangle ACD=15\cdot \measuredangle BAC,$ να υπολογισθεί το μέτρο της γωνίας $\measuredangle BAC.$

Με $AZ \bot BD \Rightarrow \angle ZAD=2 \theta \Rightarrow \angle CAZ= \theta$ κι έστω CE//AZ

Τότε, $\angle ECA= \angle CAZ= \theta \Rightarrow EC=EA$ και $EC \bot BD$

Επιπλέον $\angle BCE= \angle BCA- \angle ECA=3 \theta - \theta =2 \theta = \angle BEC$ ,συνεπώς

μεσοκάθετος

της

οπότε

και $\angle DEB= \angle BCD=8 \theta$

Τότε όμως $\angle EDA= \angle BAD=4 \theta \Rightarrow EA=ED$ και το τρίγωνο CED

είναι ισόπλευρο

Άρα $3.6 \theta =180^0 \Rightarrow \theta =10^0$

: εύρεση γωνίας.png (24.5 KiB) Προβλήθηκε 1269 φορές

kkala · #8

cool geometry έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 26, 2022 6:29 pm
$\boldsymbol{(1),(2),(3)\Rightarrow \frac{\eta \mu 8\vartheta }{\sigma \upsilon \nu 2\vartheta }=\frac{\eta \mu 4\vartheta }{\sigma \upsilon \nu 2\vartheta }\cdot [\frac{\eta \mu 5\vartheta }{\eta \mu 3\vartheta }\Leftrightarrow \vartheta =10^{0}.}$
Επομένως υπάρχει λύση.

Η εξίσωση γράφεται μετά από απλοποίηση κλπ (*) $\small 2\sigma \upsilon \nu 4\theta \eta \mu 3\theta =\eta \mu 5\theta \Leftrightarrow \eta \mu 7\theta -\eta \mu \theta =\eta \mu 5\theta \Leftrightarrow \eta \mu 7\theta -\eta \mu 5\theta =\eta \mu \theta$ .
$\Leftrightarrow 2\eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu 6\theta =\eta \mu \theta$ .
Συνεπώς $\eta \mu \theta =0$ (1)
είτε $\sigma \upsilon \nu 6\theta =\sigma \upsilon \nu 60^0$ . (2)
Επομένως $\theta =k360^0$ , $\small \theta =(2\kappa +1)180^0$ (1η εξίσωση), k τυχών ακέραιος, ή
(2η εξίσωση) $\small 6\theta =\kappa 360^0+60^0 , 6\theta =\kappa 360^0-60^0$ , δηλαδή
$\small \theta =\kappa 60^0+10^0, \theta =\kappa 60^0-10^0$
Είναι όμως $\small 0^0<\gamma \omega \nu BAD=4\theta <180^0$ (ως γωνία του τριγώνου BAD), δηλαδή $\small 0^0<\theta <45^0$ . Οπότε από τις λύσεις των δύο παραπάνω εξισώσεων δεκτή είναι μόνο η $\small \theta =10^0$ .
(*) με την προϋπόθεση ότι δεν μηδενίζονται οι παρονομαστές της αρχικής εξίσωσης και $\eta \mu 4\theta \neq 0$ , πράγμα που συμβαίνει με την δεκτή λύση.
Κάπως έτσι μπορεί να λυθεί τριγωνομετρικά η παραπάνω εξίσωση και να καταλήξουμε στο $\small \theta =10^0$ .

Συμφωνώ με το #6 (ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ). Όλοι θάπρεπε να γράφουμε πλήρεις λύσεις, πράγμα που θα διευκόλυνε (εμένα και άλλους) στην κατανόηση της άσκησης. Εξαιρούνται βέβαια οι υποδείξεις, κυρίως στους μαθητές για να ξεκινήσουν.

Η γωνία μας δουλεύει

Η γωνία μας δουλεύει

Re: Η γωνία μας δουλεύει

Re: Η γωνία μας δουλεύει

Re: Η γωνία μας δουλεύει

Re: Η γωνία μας δουλεύει

Re: Η γωνία μας δουλεύει

Re: Η γωνία μας δουλεύει

Re: Η γωνία μας δουλεύει

Μέλη σε σύνδεση