Ευθείες που εφάπτονται σε κύκλο

giannimani · #1

Τετράπλευρο ABCD

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $\omega$ κέντρου

. Ο περιγεγραμμένος κύκλος
του τριγώνου AOC

τέμνει για δεύτερη φορά τις ευθείες

,

και

στα σημεία

,

και

αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες

,

και οι εφαπτομένες του $\omega$
στα

και

εφάπτονται ενός κύκλου.

: tang_circ.png (38.62 KiB) Προβλήθηκε 664 φορές

#2

giannimani έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 08, 2022 11:40 am
Τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $\omega$ κέντρου . Ο περιγεγραμμένος κύκλος
του τριγώνου τέμνει για δεύτερη φορά τις ευθείες , , και στα σημεία
, , και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες , και οι εφαπτομένες του $\omega$
στα και εφάπτονται ενός κύκλου.
tang_circ.png

: Ευθείες που εφάπτονται σε κύκλο.png (56.62 KiB) Προβλήθηκε 647 φορές

#3

giannimani έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 08, 2022 11:40 am
Τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $\omega$ κέντρου . Ο περιγεγραμμένος κύκλος
του τριγώνου τέμνει για δεύτερη φορά τις ευθείες , , και στα σημεία
, , και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες , και οι εφαπτομένες του $\omega$
στα και εφάπτονται ενός κύκλου.
tang_circ.png

: Ευθείες που εφάπτονται σε κύκλο_Ανάλυση.png (25.01 KiB) Προβλήθηκε 625 φορές

α) Πριν φέρω τις εφαπτόμενες του κύκλου $\Omega$ στα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ οι γωνίες με το ίδιο χρώμα είναι προφανώς ίσες .

Άρα οι χορδές $KL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MN$ του κύκλου $U \to \left( {A,O,C} \right)$ είναι πάντα ίσες .

β)

: Ευθείες που εφάπτονται σε κύκλο.png (25.22 KiB) Προβλήθηκε 625 φορές

Επειδή το

είναι μέσο του τόξου χορδής

, του κύκλου $\Omega$ ,

το σημείο τομής, ας το πούμε

, των εφαπτομένων του κύκλου αυτού στα A,C

θα ανήκει στο κύκλο

και η

θα διέρχεται από το κέντρο του , έστω

και θα διχοτομεί την $\widehat {ASC}$ .

Μετά απ’ αυτά ο παρεγγεγραμμένος κύκλος του $\vartriangle ATF$ (σχήμα) θα εφάπτεται των χορδών : $SA\,\,,\,\,SC\,\,,\,\,MN$ αλλά και της KL = MN

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

giannimani έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 08, 2022 11:40 am
Τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $\omega$ κέντρου . Ο περιγεγραμμένος κύκλος
του τριγώνου τέμνει για δεύτερη φορά τις ευθείες , , και στα σημεία
, , και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες , και οι εφαπτομένες του $\omega$
στα και εφάπτονται ενός κύκλου.
tang_circ.png

Επειδή $\angle OAS+ \angle OCS=180^0$ το σημείο τομής

των εφαπτόμενων του κύκλου

$(\omega)$ στα A,C

θα ανήκει στον κύκλο (A,O,C)

με κέντρο το μέσον

του

Λόγω της προφανούς ισότητας των πράσινων αλλά και των ροζ γωνιών του σχήματος ,θα είναι $MC=NS\Rightarrow NSMC$

ισοσκελές τραπέζιο ,άρα CS=MN=SA

,αλλά και

ισοσκελές τραπέζιο ,άρα KL=MN

κι έτσι όλες οι μπλε χορδές του κύκλου (A,O,C)

είναι ίσες συνεπώς και τα αποστήματα αυτών είναι ίσα

Επομένως οι χορδές αυτές εφάπτονται του κύκλου $(T,TZ= \dfrac{R}{2})$

: Ευθείες εφαπτόμενες σε κύκλο.png (206.15 KiB) Προβλήθηκε 581 φορές

Ευθείες που εφάπτονται σε κύκλο

Ευθείες που εφάπτονται σε κύκλο

Re: Ευθείες που εφάπτονται σε κύκλο

Re: Ευθείες που εφάπτονται σε κύκλο

Re: Ευθείες που εφάπτονται σε κύκλο

Μέλη σε σύνδεση