Τριπλή ισότητα

KARKAR · #1

: Τριπλή ισότητα.png (12.68 KiB) Προβλήθηκε 893 φορές

Τα τμήματα OA , OB

είναι ίσα και κάθετα και το

είναι το μέσο του

. Γράψαμε τα ημικύκλια

διαμέτρων AO , AM

και

. Ευθεία διερχόμενη από το

, τέμνει τα τόξα στα σημεία S , P , T

.

α) Δείξτε ότι : SP=PT

.... β) Βρείτε την θέση της ευθείας για την οποία : OS=SP=PT

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 03, 2022 7:47 am
Τριπλή ισότητα.pngΤα τμήματα είναι ίσα και κάθετα και το είναι το μέσο του . Γράψαμε τα ημικύκλια

διαμέτρων και . Ευθεία διερχόμενη από το , τέμνει τα τόξα στα σημεία .

α) Δείξτε ότι : .... β) Βρείτε την θέση της ευθείας για την οποία : .

α) Έστω

και

το σημείο τομής της

με το μικρότερο ημικύκλιο. Τότε $AM=a\sqrt 5$

και $\displaystyle B{O^2} = BN \cdot BA \Leftrightarrow 4{a^2} = 2(BN)a\sqrt 2 \Leftrightarrow BN = a\sqrt 2 .$ Άρα το

είναι το μέσο του

και του ημικυκλίου και αν K, L

είναι τα μέσα των AO, AM,

τότε τα

είναι συνευθειακά.

: Τριπλή ισότητα.Κ.png (23.81 KiB) Προβλήθηκε 878 φορές

β) Δύναμη σημείου, $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} TP \cdot PO = 2{a^2} - P{N^2}\\ \\ PS \cdot PO = P{K^2} - {a^2} \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^ \div$ $\boxed{\frac{{TP}}{{PS}} = \frac{{2{a^2} - P{N^2}}}{{P{K^2} - {a^2}}}}$ (1)

Θεώρημα διαμέσων, $\displaystyle P{K^2} + P{N^2} = 2P{L^2} + \frac{{N{K^2}}}{2} = 2{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)^2} + \frac{{{a^2}}}{2} = 3{a^2}.$

Άρα, $\displaystyle 2{a^2} - P{N^2} = P{K^2} - {a^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{TP=PS}$

β) Η τριπλή ισότητα ισχύει όταν τα A, S, M

είναι συνευθειακά, δηλαδή το

είναι το σημείο τομής

της

με το μικρότερο ημικύκλιο. Πράγματι, τότε θα είναι $\displaystyle S{P^2} = AS \cdot SM = O{S^2}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 03, 2022 7:47 am
Τριπλή ισότητα.pngΤα τμήματα είναι ίσα και κάθετα και το είναι το μέσο του . Γράψαμε τα ημικύκλια

διαμέτρων και . Ευθεία διερχόμενη από το , τέμνει τα τόξα στα σημεία .

α) Δείξτε ότι : .... β) Βρείτε την θέση της ευθείας για την οποία : .

α) Η διάμετρος

του πιο μεγάλου κύκλου διέρχεται από το μέσο

του μικρού ημικυκλίου .

Η

είναι σταθερή και τέμνει το μεσαίο ημικύκλιο στο σταθερό

που είναι συμμετρικό του

ως προς το

.

Όμως το

ανήκει στο μεσαίο ημικύκλιο άρα στο κύκλο διαμέτρου

.

: Τριπλή ισότητα_a.png (37.73 KiB) Προβλήθηκε 868 φορές

Η

είναι εφαπτομένη του μικρού ημικυκλίου και αν προεκταθεί προς το

θα τμήσει το μεγάλο στο

.

Το τετράπλευρο AOBF

είναι τετράγωνο με κέντρο το

οπότε το

ανήκει στον κύκλο διαμέτρου

.

Έτσι : $AS\,\,//\,EP//FT$ και στο τραπέζιο ASTF

η

αναγκαστικά είναι διάμεσος.

β)

: Τριπλή ισότητα_b.png (16.34 KiB) Προβλήθηκε 868 φορές

Αν το

είναι το σημείο τομής της

με το μικρό ημικύκλιο , το τετράπλευρο AOMP

θα είναι χαρταετός οπότε OS = SP = ST

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 03, 2022 7:47 am
Τριπλή ισότητα.pngΤα τμήματα είναι ίσα και κάθετα και το είναι το μέσο του . Γράψαμε τα ημικύκλια

διαμέτρων και . Ευθεία διερχόμενη από το , τέμνει τα τόξα στα σημεία .

α) Δείξτε ότι : .... β) Βρείτε την θέση της ευθείας για την οποία : .

1)Προφανώς η μεσοκάθετη της

είναι εφαπτόμενη του μικρού ημικυκλίου στο μέσον

του τόξου

και

είναι ορθογώνιο

άρα $EP \bot PO \Rightarrow \angle EZA= \angle EHA=45^0 \Rightarrow ZKAE$ εγγράψιμμο συνεπώς $KZ \bot TA \Rightarrow KZ//BT$

Ακόμη, $\angle TSK= \angle STB \Rightarrow SK//TB \Rightarrow S K \bot AT$ επομένως S,K,Z

συνευθειακά

και το τρίγωνο TZS

είναι ορθογώνιο ισοσκελές,άρα TP=PS

2) Έστω

και $KN \bot OT$ .Τότε

μέσον της

και

καθώς και $NP=// \dfrac{TB}{2}$

Επίσης ,εύκολα το $\triangle PZS$ είναι ορθογώνιο ισοσκελές με $KS=KZ=// \dfrac{BT}{2}$ οπότε, NM=//KS

άρα $MS\bot OT \Rightarrow A,S,M$ συνευθειακά

: Τριπλή ισότητα.png (47.54 KiB) Προβλήθηκε 803 φορές

#5

Aπό τα όμοια τρίγωνα (απλό) $AOM,\,\,ASP$ και τα $AOB,\,\, AST$ έχουμε

$\dfrac{OM}{SP}=\dfrac{OB}{ST}...\,\,\,\,(=\dfrac{AO}{AS})$

κ.λπ.

Τριπλή ισότητα

Τριπλή ισότητα

Re: Τριπλή ισότητα

Re: Τριπλή ισότητα

Re: Τριπλή ισότητα

Re: Τριπλή ισότητα

Μέλη σε σύνδεση