Ρουμάνικη πρόοδος

M.S.Vovos · #1

Έστω η αριθμητική πρόοδος $\left ( a_{n} \right )_{n\geqslant 1}$ που περιέχει τους αριθμούς

και $\sqrt{2}$ . Να αποδείξετε ότι οποιαδήποτε τριάδα όρων της $\left ( a_{n} \right )_{n\geqslant 1}$ δεν μπορεί να ανήκει σε γεωμετρική πρόοδο.

#2

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 17, 2022 12:47 am
Έστω η αριθμητική πρόοδος $\left ( a_{n} \right )_{n\geqslant 1}$ που περιέχει τους αριθμούς και $\sqrt{2}$ . Να αποδείξετε ότι οποιαδήποτε τριάδα όρων της $\left ( a_{n} \right )_{n\geqslant 1}$ δεν μπορεί να ανήκει σε γεωμετρική πρόοδο.

H υπόθεση είναι $\sqrt 2 = 1 +nw$ για κάποιον ακέραιο

, όπου

η διαφορά της αριθμητικής προόδου. Έπεται αμέσως ότι

(μη μηδενικός) άρρητος αριθμός.

Αν υπήρχαν τρεις όροι σε γεωμετρική πρόοδο θα είχαμε ισότητα της μορφής (1+nw)(1+mw)=(1+kw)^2

όπου

διαφορετικοί ανά δύο ακέραιοι. Mε απλοποίηση έχουμε (n+m-2k)=(k^2-mn)w

. Αλλά δεν μπορεί k^2-mn=0

γιατί τότε m+n-2k=0

που είναι αδυνατο (η μόνη λύση του συστήματος ως προς n,m

είναι η

). Τελικά

$w=\dfrac {n+m-2k}{k^2-mn}=$ ρητός. Άτοπο.

Ρουμάνικη πρόοδος

Ρουμάνικη πρόοδος

Re: Ρουμάνικη πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση