Συνευθειακότητα από παραλληλόγραμμα

#1

: Συνευθειακότητα από παραλληλόγραμμα.png (32.65 KiB) Προβλήθηκε 1027 φορές

Έστω τυχόντα σημεία της πλευράς τριγώνου $\vartriangle ABC$ και ας είναι και σημεία των πλευρών αντίστοιχα ώστε παραλληλόγραμμα. Να δειχθεί ότι τα σημεία είναι συνευθειακά , όπου $U\equiv BJ\cap CN$ και $V\equiv BM\cap CK$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 16, 2021 11:51 am
Συνευθειακότητα από παραλληλόγραμμα.png
Έστω τυχόντα σημεία της πλευράς τριγώνου $\vartriangle ABC$ και ας είναι και σημεία των πλευρών αντίστοιχα ώστε παραλληλόγραμμα. Να δειχθεί ότι τα σημεία είναι συνευθειακά , όπου $U\equiv BJ\cap CN$ και $V\equiv BM\cap CK$

Στο σχήμα του Στάθη

Στο τρίγωνο AKC

με διατέμνουσα MVB

ο Μενέλαος δίνει $\dfrac{KV}{VC} = \dfrac{MA}{MC}. \dfrac{BK}{BA} (1)$

Στο τρίγωνο ANC

με διατέμνουσα JUB

ο Μενέλαος δίνει $\dfrac{CU}{UN } = \dfrac{BA}{BN}. \dfrac{JC}{JA} (2)$

$(1). (2) \Rightarrow \dfrac{KV}{VC} .\dfrac{CU}{UN }= \dfrac{MA.JC.BK}{BN.AJ.MC}$

Είναι AN=MY

και

,οπότε $\dfrac{AN}{AK}= \dfrac{MY}{JX}= \dfrac{CM}{CJ}$

Άρα $\dfrac{KV}{VC} .\dfrac{CU}{UN }. \dfrac{AN}{AK} = \dfrac{MA}{AJ }. \dfrac{BK}{BN}= \dfrac{YB}{BX}. \dfrac{BX}{YB}=1$

Επομένως με βάση το αντίστροφο του Θ.Μενελάου στο τρίγωνο NKC

, τα

είναι συνευθειακά

#3

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 16, 2021 9:27 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 16, 2021 11:51 am
Συνευθειακότητα από παραλληλόγραμμα.png
Έστω τυχόντα σημεία της πλευράς τριγώνου $\vartriangle ABC$ και ας είναι και σημεία των πλευρών αντίστοιχα ώστε παραλληλόγραμμα. Να δειχθεί ότι τα σημεία είναι συνευθειακά , όπου $U\equiv BJ\cap CN$ και $V\equiv BM\cap CK$
Στο σχήμα του Στάθη

Στο τρίγωνο με διατέμνουσα ο Μενέλαος δίνει $\dfrac{KV}{VC} = \dfrac{MA}{MC}. \dfrac{BK}{BA} (1)$

Στο τρίγωνο με διατέμνουσα ο Μενέλαος δίνει $\dfrac{CU}{UN } = \dfrac{BA}{BN}. \dfrac{JC}{JA} (2)$

$(1). (2) \Rightarrow \dfrac{KV}{VC} .\dfrac{CU}{UN }= \dfrac{MA.JC.BK}{BN.AJ.MC}$

Είναι και ,οπότε $\dfrac{AN}{AK}= \dfrac{MY}{JX}= \dfrac{CM}{CJ}$

Άρα $\dfrac{KV}{VC} .\dfrac{CU}{UN }. \dfrac{AN}{AK} = \dfrac{MA}{AJ }. \dfrac{BK}{BN}= \dfrac{YB}{BX}. \dfrac{BX}{YB}=1$

Επομένως με βάση το αντίστροφο του Θ.Μενελάου στο τρίγωνο , τα είναι συνευθειακά

Καλημέρα Μιχάλη

Ίσως ένας Ceva μαζι με έναν αντίστροφο Ceva και με τη βοήθεια του Θαλή ( λόγω των παράλληλων ) μας έλυναν συντομότερα το προβλημα

Αλλα θα μου πεις οτι ο Ceva , ο Θαλής και ο Μενέλαος μια " παρεούλα " ειναι

STOPJOHN · #4

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 16, 2021 11:51 am
Συνευθειακότητα από παραλληλόγραμμα.png
Έστω τυχόντα σημεία της πλευράς τριγώνου $\vartriangle ABC$ και ας είναι και σημεία των πλευρών αντίστοιχα ώστε παραλληλόγραμμα. Να δειχθεί ότι τα σημεία είναι συνευθειακά , όπου $U\equiv BJ\cap CN$ και $V\equiv BM\cap CK$

Στο σχήμα 2 . Θα γίνει η απόδειξη με Ατοπο απαγωγή . Έστω οτι οι ευθείες AU,AV

τέμνουν την

στα σημεία $\Pi ,\Pi _{1}$ αντίστοιχα .Θέτουμε AN=MY=x,AJ=y,AK=t,AM=w,

Τότε είναι $\dfrac{B\Pi }{\Pi C}.\dfrac{b-y}{y}.\dfrac{x}{c-x}=1 \Leftrightarrow \dfrac{B\Pi }{\Pi C}=\dfrac{y(c-x)}{x(b-y)},(1), \dfrac{B\Pi _{1}}{\Pi _{1}C}.\dfrac{b-w}{w}.\dfrac{t}{c-t}=1 \Leftrightarrow \dfrac{B\Pi _{1}}{\Pi _{1}C}=\dfrac{w(c-t)}{t(b-w)},(2), NY//AC\Rightarrow \dfrac{c-x}{c}=\dfrac{w}{b},(3), KX///AY\Rightarrow \dfrac{c-t}{c}=\dfrac{y}{b},(4), XJ//AB\Rightarrow \dfrac{b-y}{b}=\dfrac{t}{c},(5), YM//AB\Rightarrow \dfrac{b-w}{b}=\dfrac{x}{c},(6), (3),(5)\Rightarrow \dfrac{y(c-x)}{x(b-y)}=\dfrac{ywc^{2}}{xtb^{2}},(*), (4),(6)\Rightarrow \dfrac{w(c-t)}{t(b-w)}=\dfrac{wyc^{2}}{xtb^{2}},(**), (*),(**),(1),(2)\Rightarrow \dfrac{B\Pi }{C\Pi }=\dfrac{B\Pi _{1}}{C\Pi _{1}}\Rightarrow \Pi \equiv \Pi _{1}$

#5

Καλησπέρα σε όλους μετά από πολύ καιρό απουσίας απο τα γεωμετρικά δρώμενα.

Είναι μία ευκαιρία για εξάσκηση στους Διπλούς λόγους. Χρησιμοποιώ το σχήμα της εκφώνησης.

$\bullet$ Από $AB\parallel JX\parallel MY$ και $AC\parallel NY\parallel KX \Rightarrow$ $(A,N,K,B) = (C,Y,X,B)\ \ \ .(1)$

και $(A,J,M,C) = (B,X,Y,C)\ \ \ ,(2)$

Από $(1)\ (2)$ και $(C,Y,X,B) = (B,X,Y,C)\Rightarrow$ $(A,N,K,B) = (A,J,M,C)\ \ \ ,(3)$

Από (3)

και

$\Rightarrow$ $(B.AJMC) = (C.ANKB)\ \ \ ,(4)$

Από (4)

και επειδή οι δέσμες $B.AJMC,\ C.ANKB$ έχουν την $BC\equiv CB$ ως κοινή ακτίνα τους, συμπεραίνεται ότι τα σημεία $A\equiv BA\cap CA$ και $U\equiv BJ\cap CN$ και $V\equiv BM\cap CK$ , ως τα σημεία τομής των υπολοίπων ζευγών ομολόγων ακτίνων τους, είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Είναι φανερό ότι το πρόβλημα αληθεύει και όταν αντί για τις παραλληλίες $AB\parallel JX\parallel MY$ και $AC\parallel NY\parallel KX$ ισχύουν οι συντρέχειες $AB\cap JX\cap MY\equiv S$ και $AC\cap NY\cap KX\equiv T$ , όπου τα $S,\ T$ , είναι τυχόντα σημεία επί των ευθειών $AB,\ AC$ , αντιστοίχως.

: Συνευθειακότητα από παραλληλίες - Γενίκευση.; f=178 t=70518.PNG (22.76 KiB) Προβλήθηκε 795 φορές

Συνευθειακότητα από παραλληλόγραμμα

Συνευθειακότητα από παραλληλόγραμμα

Re: Συνευθειακότητα από παραλληλόγραμμα

Re: Συνευθειακότητα από παραλληλόγραμμα

Re: Συνευθειακότητα από παραλληλόγραμμα

Re: Συνευθειακότητα από παραλληλόγραμμα

Μέλη σε σύνδεση