Ομοιότητα και κάλυψη

KARKAR · #1

: Ομοιότητα και κάλυψη.png (48.84 KiB) Προβλήθηκε 1295 φορές

Βρείτε την σχέση μεταξύ των κάθετων πλευρών του τριγώνου ABC

, ώστε το τρίγωνο PTS

να είναι όμοιό του . Υπολογίστε το μέρος της επιφάνειας του ABC

, που καλύπτει το PTS

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 21, 2020 8:49 pm
Ομοιότητα και κάλυψη.pngΒρείτε την σχέση μεταξύ των κάθετων πλευρών του τριγώνου , ώστε το τρίγωνο

να είναι όμοιό του . Υπολογίστε το μέρος της επιφάνειας του , που καλύπτει το .

: Ομοιότητα και κάλυψη_Κατασκευή_ok_a.png (19.78 KiB) Προβλήθηκε 1276 φορές

Ας είναι σταθερό το AB = 3k

και $AC = 3x\,\,,\,\,BC = 3m$ προφανώς : ${k^2} = {m^2} - {x^2}\,\,\left( 1 \right)$ .

Από το Π. Θ. στο $\vartriangle AST$ και το Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle PSC$ έχω και λόγω της $\left( 1 \right)$ :

$\left\{ \begin{gathered} T{S^2} = {k^2} + 4{x^2} = {m^2} + 3{x^2} \hfill \\ P{S^2} = 4{m^2} + {x^2} - 2 \cdot 2mx\cos C \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} T{S^2} = {m^2} + 3{x^2} \hfill \\ P{S^2} = 4{m^2} - 3{x^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Για να είναι $\vartriangle ABC \approx \vartriangle PTS$ αρκεί:

$\dfrac{{T{S^2}}}{{P{S^2}}} = \dfrac{{B{C^2}}}{{A{C^2}}}$ (γιατί με όμοιο συλλογισμό βρίσκω και το $P{T^2}$ )

Δηλαδή : $\dfrac{{{m^2} + 3{x^2}}}{{4{m^2} - 3{x^2}}} = \dfrac{{{m^2}}}{{{x^2}}} \Rightarrow 3{x^4} + 4{m^2}{x^2} - 4{m^4} = 0$ απ’ όπου : $\boxed{\frac{x}{m} = \frac{b}{a} = \sqrt {\frac{2}{3}} }$ .

β) Μετά απ’ αυτά $BC = \sqrt 3 TS \Rightarrow \left( {ABC} \right) = 3\left( {PTS} \right)$ .

Manolis Petrakis · #3

Είναι $\angle TAP=\angle TSP$ (από το εγγράψιμο $ATPS)=\angle C$ (από τα όμοια ABC,PTS

)
Έτσι $\angle BAP=\angle C$
Έτσι τα BAP

και

είναι όμοια $\Rightarrow AP\perp BC$
Έτσι $AP=\sqrt {BP\cdot PC}=\dfrac{a\sqrt 2}{3}$
$AP\perp BC,TP\perp PS\Rightarrow \angle TPA=\angle SPC$ έτσι τα ATP,CSP

είναι όμοια $\Rightarrow \dfrac{AT}{SC}=\dfrac{AP}{PC}\Leftrightarrow \dfrac{c}{b}=\dfrac{\sqrt 2}{2}\Leftrightarrow b=c\sqrt 2(1)$
Από την ομοιότητα είναι $PS=PT\cdot \sqrt 2$
Έστω $PT=x\Rightarrow (PTS)=\frac{1}{2}\cdot PT \cdot PT=\dfrac{x^2\sqrt 2}{2} (2)$
Από ΠΘ στο PTS

είναι $TS=x\sqrt 3 (3)$
Από ΠΘ στο ATS

λόγω της (1) είναι $TS=\sqrt{(c^2+4b^2)\frac{1}{9}}=c (4)$
Από τις (3),(4)

παίρνουμε $x=\frac{c}{\sqrt 3}$
Έτσι από τη (2)

βρισκουμε ότι $(PTS)=\dfrac{c^2\sqrt 2}{6}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 21, 2020 8:49 pm
Ομοιότητα και κάλυψη.pngΒρείτε την σχέση μεταξύ των κάθετων πλευρών του τριγώνου , ώστε το τρίγωνο

να είναι όμοιό του . Υπολογίστε το μέρος της επιφάνειας του , που καλύπτει το .

Για τη σχέση των εμβαδών των δύο τριγώνων) (ανεξάρτητα ομοιότητας και ανεξάρτητα του είδους των τριγώνων να πω ότι έχουμε άμεσο αποτέλεσμα (για τις θέσεις των κορυφών του "εσωτερικού" τριγώνου ) από τον τύπο που αναφέρεται εδώ στην τελευταία δημοσίευση του Κώστα

#5

Για το δεύτερο ερώτημα στη γενική του μορφή.

: Κάλυψη...png (11.03 KiB) Προβλήθηκε 1182 φορές

Αν $\displaystyle \frac{{DB}}{{DC}} = l,\frac{{EC}}{{EA}} = m,\frac{{ZA}}{{ZB}} = n,$ τότε: $\boxed{\frac{{(DEZ)}}{{(ABC)}} = \frac{{lmn + 1}}{{(l + 1)(m + 1)(n + 1)}}}$

Στην περίπτωσή μας είναι l=m=n=2.

Την έχω προτείνει παλαιότερα στο

αλλά δεν μπορώ να το βρω. Είναι από το βιβλίο Γεωμετρία του γιάννη ντάνη, στη σελίδα 291.

KARKAR · #6

Υποθέτω Γιώργο ότι είναι ισοδύναμο αυτού , σελίδα

.

Ψάχνεις αυτό .

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 24, 2020 12:30 pm
Υποθέτω Γιώργο ότι είναι ισοδύναμο αυτού , σελίδα .

Ψάχνεις αυτό .

Ναι, Θανάση. Αυτό ακριβώς!

STOPJOHN · #8

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 21, 2020 8:49 pm
Ομοιότητα και κάλυψη.pngΒρείτε την σχέση μεταξύ των κάθετων πλευρών του τριγώνου , ώστε το τρίγωνο

να είναι όμοιό του . Υπολογίστε το μέρος της επιφάνειας του , που καλύπτει το .

Καλημέρα

Απο τα όμοια τρίγωνα

$ABC,PTS,\dfrac{TP}{c}=\dfrac{TS}{a}=\dfrac{PS}{b}\Rightarrow TS^{2}=\dfrac{c^{2}+4b^{2}}{9}, TP^{2}=\dfrac{c^{2}(c^{2}+4b^{2})}{9a^{2}}, PS^{2}=\dfrac{b^{2}(c^{2}+4b^{2})}{9a^{2}},$

Απο τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα

$EPS,ETA,\dfrac{PS}{TA}=\dfrac{ES}{ET}=\dfrac{EP}{EA}\Rightarrow b^{2}=2c^{2},(*) (ABC)=\dfrac{bc}{2},(PTS)=\dfrac{1}{2}PT.PS,$

και λογω της (*),(ABC)=3(PTS)

Ομοιότητα και κάλυψη

Ομοιότητα και κάλυψη

Re: Ομοιότητα και κάλυψη

Re: Ομοιότητα και κάλυψη

Re: Ομοιότητα και κάλυψη

Re: Ομοιότητα και κάλυψη

Re: Ομοιότητα και κάλυψη

Re: Ομοιότητα και κάλυψη

Re: Ομοιότητα και κάλυψη

Μέλη σε σύνδεση