Αύξουσα γεωμετρική πρόοδος

KARKAR · #1

: Γεωμετρική πρόοδος.png (7.1 KiB) Προβλήθηκε 1786 φορές

Το τρίγωνο ABC

είναι ισοσκελές και αμβλυγώνιο . Εντοπίστε σημείο

στην βάση

, ώστε

τα τμήματα : SB , SA , SC

, να αποτελούν διαδοχικούς όρους αύξουσας γεωμετρικής προόδου .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 11, 2020 9:53 pm
Γεωμετρική πρόοδος.pngΤο τρίγωνο είναι ισοσκελές και αμβλυγώνιο . Εντοπίστε σημείο στην βάση , ώστε

τα τμήματα : , να αποτελούν διαδοχικούς όρους αύξουσας γεωμετρικής προόδου .

Έστω

, όπου

η προβολή του

στην

. Η υπόθεση μας λέει ότι τα $SB=a/2-x,\, AS, \, SC= a/2+x$ είναι γεωμετρική πρόοδος. Άρα από το Πυθαγόρειο

$\displaystyle{ (a/2-x)( a/2+x) = AS^2= AD^2+SD^2= (b^2-BD^2)+ x^2= b^2-(a/2)^2+ x^2}$ .

Άρα $x^2= \frac {1}{4}(a^2-2b^2)$ , και λοιπά.

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 11, 2020 9:53 pm
Γεωμετρική πρόοδος.pngΤο τρίγωνο είναι ισοσκελές και αμβλυγώνιο . Εντοπίστε σημείο στην βάση , ώστε

τα τμήματα : , να αποτελούν διαδοχικούς όρους αύξουσας γεωμετρικής προόδου .

Ειναι

$SB.SC=SA.SN,(1), SA^{2}=SB.SC,(2), (1),(2)\Rightarrow SA=SN,OS\perp AN$

Αρα ο κυκλος διαμέτρου

τέμνει την

γενικά σε δυο σημεία

S,H

#4

Ας είναι λυμένο το πρόβλημα κι’ έστω: $\left( {K,R} \right)$ ο περιγεγραμμένος κύκλος

του τριγώνου ABC

,

το μέσο της βάσης

και

το άλλο σημείο τομής της

με τον πιο πάνω κύκλο .Θέτω : $AM = h\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AS = x$

Επειδή ταυτόχρονα : $\left\{ \begin{gathered} A{S^2} = SB \cdot SC \hfill \\ AS \cdot ST = SB \cdot SC \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{AS = ST = x}$ και άρα $\boxed{\widehat {ASK} = 90^\circ }$

Κατασκευή:

: Αύξουσα Γεωμετρική πρόοδος_Κατασκευή.png (23.13 KiB) Προβλήθηκε 1731 φορές

Ο κύκλος διαμέτρου

τέμνει την

στο

.

Υπολογισμοί:

Από το Θ. Ευκλείδη στο $\vartriangle SAK$ έχω:

${x^2} = A{S^2} = AM \cdot AK = Rh \Rightarrow 2{x^2} = 2Rh = {b^2}$ . ( Γιατί $AB \cdot AC = 2Rh$ )

Παρόμοια με το Γιάννη.

KARKAR · #5

: Γεωμετρική πρόοδος συνέχεια.png (8.03 KiB) Προβλήθηκε 1717 φορές

Με τον ίδιο τρόπο λύνουμε κατασκευαστικά το πρόβλημα και σε σκαληνό αμβλυγώνιο τρίγωνο .

Επειδή όμως και οι υπολογισμοί δεν στερούνται ενδιαφέροντος , ας υπολογίσουμε το τμήμα

συναρτήσει των πλευρών a,b,c

του τριγώνου . Εφαρμογή για τα μήκη του σχήματος .

Έχει λύση το πρόβλημα σε οξυγώνιο τρίγωνο ;

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 12, 2020 9:19 am
Γεωμετρική πρόοδος συνέχεια.pngΜε τον ίδιο τρόπο λύνουμε κατασκευαστικά το πρόβλημα και σε σκαληνό αμβλυγώνιο τρίγωνο .

Επειδή όμως και οι υπολογισμοί δεν στερούνται ενδιαφέροντος , ας υπολογίσουμε το τμήμα

συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου . Εφαρμογή για τα μήκη του σχήματος .

Έχει λύση το πρόβλημα σε οξυγώνιο τρίγωνο ;

: Αύξουσα Γ.Π.png (10.23 KiB) Προβλήθηκε 1700 φορές

Με $\displaystyle {\rm{Stewart}}$ κι επειδή y^2=x(a-x)

καταλήγω στην εξίσωση: $\boxed{2ax^2-(2a^2-b^2+c^2)x+ac^2=0}$

$\displaystyle \Delta = {(2{a^2} - {b^2} + {c^2})^2} - {(2ac\sqrt 2 )^2} = \left( {2{a^2} - {b^2} + {c^2} + 2ac\sqrt 2 } \right)\left( {2{a^2} - {b^2} + {c^2} - 2ac\sqrt 2 } \right)$

$\displaystyle = \left( {{{(a\sqrt 2 + c)}^2} - {b^2}} \right)\left( {{{(a\sqrt 2 - c)}^2} - {b^2}} \right) = (a\sqrt 2 + b + c)(a\sqrt 2 - b + c)(a\sqrt 2 + b - c)(a\sqrt 2 - b - c)$

Η μικρότερη ρίζα της εξίσωσης είναι η ζητούμενη. Για την εφαρμογή $\boxed{x = \frac{{23 - \sqrt {79} }}{6}}$

Στη διακρίνουσα, από τριγωνική ανισότητα και από $\displaystyle a\sqrt 2 > a$ διαπιστώνουμε ότι οι τρεις πρώτες παρενθέσεις είναι

θετικές. Άρα για να έχουμε λύση αρκεί $\boxed{a\sqrt 2 \ge b + c}$ Με δεδομένο αυτό τον περιορισμό, το τρίγωνο μπορεί να

είναι και οξυγώνιο. Η ισότητα λαμβάνεται όταν ο κύκλος διαμέτρου

(

το περίκεντρο), εφάπτεται στην BC.

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 12, 2020 9:19 am
Γεωμετρική πρόοδος συνέχεια.pngΜε τον ίδιο τρόπο λύνουμε κατασκευαστικά το πρόβλημα και σε σκαληνό αμβλυγώνιο τρίγωνο .

Επειδή όμως και οι υπολογισμοί δεν στερούνται ενδιαφέροντος , ας υπολογίσουμε το τμήμα

συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου . Εφαρμογή για τα μήκη του σχήματος .

Έχει λύση το πρόβλημα σε οξυγώνιο τρίγωνο ;

Από το Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle ABC$ έχω: $\boxed{\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}}\,\,\,\left( 1 \right)$

Αν θέσω AS = ST = y

θα ισχύουν από την υπόθεση και το Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle ABS$ :

$\left\{ \begin{gathered} {y^2} = x(a - x) \hfill \\ {y^2} = {x^2} + {c^2} - 2xc \cdot \cos B \hfill \\ \end{gathered} \right.$ που λόγω της $\left( 1 \right)$ έχω:

: Αύξουσα Γεωμετρική πρόοδος_γενικά.png (19.74 KiB) Προβλήθηκε 1698 φορές

$\boxed{2a{x^2} - \left( {2{a^2} - {b^2} + {c^2}} \right)x + a{c^2} = 0}\,\,\,\left( 2 \right)$

Η πιο μικρή ρίζα της πιο πάνω εξίσωσης μας δίδει το μήκος

.

Αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο ο κύκλος διαμέτρου

, εν γένει, δεν τέμνει την

, δηλαδή η πιο πάνω εξίσωση $\left( 2 \right)$ , δεν έχει πραγματική ρίζα .

Στην περίπτωση της επαφής οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά, η εξίσωση έχει διπλή ρίζα και το τρίγωνο ενδέχεται να είναι οξυγώνιο .

Με τα αριθμητικά δεδομένα βρίσκω : $\boxed{BS = \frac{{23 - \sqrt {79} }}{6}}$ .

Αύξουσα γεωμετρική πρόοδος

Αύξουσα γεωμετρική πρόοδος

Re: Αύξουσα γεωμετρική πρόοδος

Re: Αύξουσα γεωμετρική πρόοδος

Re: Αύξουσα γεωμετρική πρόοδος

Re: Αύξουσα γεωμετρική πρόοδος

Re: Αύξουσα γεωμετρική πρόοδος

Re: Αύξουσα γεωμετρική πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση