Πάλι σ ευθεία

[Doloros]

Πάλι σ ευθεία.png (19.66 KiB) Προβλήθηκε 1178 φορές

Σε κύκλο είναι εγγεγραμμένο τετράπλευρο .

Οι διαγώνιοι τέμνονται στο .

Δεχόμαστε ότι τέμνονται:

1. οι ευθείες στο .

2. Τα εφαπτόμενα τμήματα του στα στο .

Δείξετε ότι τα σημεία ανήκουν στην ίδια ευθεία

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Αρχικά από την τριγωνομετρική μορφή στο τρίγωνο με εσωτερικό σημείο το , παίρνουμε ότι:

(1)

Ακόμα ισχύουν από τις εφαπτομένες και από το εγγράψιμο τα εξής:

(2)

(3)

(4)

Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (2), (3) και (4) στην (1), προκύπτει ότι:



Από την παραπάνω ισότητα: και από το αντίστροφο της τριγωνομετρικής του προκύπτει πως οι ευθείες και συντρέχουν στο και το ζητούμενο έπεται.

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Σε κύκλο είναι εγγεγραμμένο τετράπλευρο .Οι διαγώνιοι τέμνονται στο .
Δεχόμαστε ότι τέμνονται:
1. οι ευθείες στο .
2. Τα εφαπτόμενα τμήματα του στα στο .
Δείξετε ότι τα σημεία ανήκουν στην ίδια ευθεία

Σε ευθεία.png (32.06 KiB) Προβλήθηκε 1131 φορές

Από το εκφυλισμένο εγγεγραμμένο στον κύκλο μη κυρτό εξάγωνο σύμφωνα με το θεώρημα του Pascal τα σημεία είναι συνευθειακά, και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Υ.Σ. Στην ίδια ευθεία βρίσκεται κσι το σημείο τομής (έστω ) των εφαπτομένων του κύκλου στα σημεία όπως ομοίως εύκολα αποδεικνύεται

[Doloros]

Πάλι σ ευθεία_Απάντηση.png (15.64 KiB) Προβλήθηκε 1013 φορές

Ας υποθέσουμε ότι είναι το σημείο τομής των .

Ως προς τον κύκλο η πολική του είναι η , η πολική του είναι η

Συνεπώς η πολική του θα διέρχεται από τα ( κατασκευή πολικής) και από τα

.