Κλαυσίλογος

KARKAR · #1

: Κλαυσίλογος.png (7.02 KiB) Προβλήθηκε 83 φορές

Στο εσωτερικό των μεγαλύτερων πλευρών AB , BC

του ορθογωνίου τριγώνου ABC

, επιλέγουμε

σημεία S,P

αντίστοιχα , τέτοια ώστε , με τρίτη κορυφή το μέσο

της

, να σχηματίζουν τρίγωνο

όμοιο με το αρχικό . Αν : AB=5 , AC=3

, υπολογίστε τον λόγο ομοιότητας των δύο τριγώνων .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 08, 2026 7:03 pm
Κλαυσίλογος.pngΣτο εσωτερικό των μεγαλύτερων πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου , επιλέγουμε

σημεία αντίστοιχα , τέτοια ώστε , με τρίτη κορυφή το μέσο της , να σχηματίζουν τρίγωνο

όμοιο με το αρχικό . Αν : , υπολογίστε τον λόγο ομοιότητας των δύο τριγώνων .

Ο κύκλος

τέμνει την

στο

κι έστω $\lambda =\dfrac{MS}{5}$ ο λόγος ομοιότητας

Επειδή οι πράσινες γωνίες PSM,CBS,PNM

είναι ίσες ,θα είναι MN//AB

άρα

μέσον της

Ισχύει $BS.BA=BN.BC\Rightarrow 5BS= \dfrac{BC^2}{2}=17 \Rightarrow BS= \dfrac{17}{5} \Rightarrow AS= \dfrac{8}{5}$

Με Π.Θ στο τρίγωνο AMS

βρίσκουμε $MS=\dfrac{ \sqrt{481} }{10}$ .Άρα $\lambda =\dfrac{ \sqrt{481} }{50}$

: Κλαυσίλογος.png (22.04 KiB) Προβλήθηκε 56 φορές

KARKAR · #3

: Κλαυσίλογος γενίκευση.png (13.92 KiB) Προβλήθηκε 51 φορές

Γενίκευση για το ορθογώνιο τρίγωνο ABC

με :

: Η λύση του Μιχάλη δίνει έναν τρόπο κατασκευής

του τριγώνου MSP

: Φέρω την μεσοκάθετο της

, η οποία μας δίνει το

και την κάθετη της

στο

, η οποία μας δίνει το

.

Πρόσθετο ερώτημα : Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του λόγου ομοιότητας $\dfrac{MS}{AB}$ των δύο τριγώνων ;

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 09, 2026 4:52 am

Πρόσθετο ερώτημα : Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του λόγου ομοιότητας $\dfrac{MS}{AB}$ των δύο τριγώνων ;

Θεωρώ σταθερή την πλευρά AB=c,

οπότε αναζητώ την ελάχιστη τιμή του MS.

$\displaystyle BS \cdot c = \frac{{{a^2}}}{2} \Leftrightarrow BS = \frac{{{a^2}}}{{2c}} \Rightarrow AS = \frac{{2{c^2} - {a^2}}}{{2c}} = \frac{{{c^2} - {b^2}}}{{2c}}$

: Κλαυσίλογος.png (12.39 KiB) Προβλήθηκε 36 φορές

$\displaystyle M{S^2} = \frac{{{b^2}}}{4} + {\left( {\frac{{{c^2} - {b^2}}}{{2c}}} \right)^2} = \frac{{{b^4} - {b^2}{c^2} + {c^4}}}{{4{c^2}}},$ που έχει για $b^2=\dfrac{c^2}{2},$

ελάχιστη τιμή $MS_{\rm min}=\dfrac{c\sqrt 3}{4}.$ Άρα, $\boxed{ {\left( {\frac{{MS}}{{AB}}} \right)_{\min }} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}}$

Κλαυσίλογος

Κλαυσίλογος

Re: Κλαυσίλογος

Re: Κλαυσίλογος

Re: Κλαυσίλογος

Μέλη σε σύνδεση