Δια τρία

[KARKAR]

Δια τρία.png (7.81 KiB) Προβλήθηκε 216 φορές

Το τραπέζιο , έχει βάσεις : και : . Να κατασκευαστεί τμήμα παράλληλο

προς τις βάσεις του τραπεζίου , με την εξής ιδιότητα : Αν : είναι τα σημεία τομής του με τις διαγωνίους

αντίστοιχα , να ισχύει : . Υπολογίστε το καθένα από αυτά τα τρία τμήματα .

[Mihalis_Lambrou]

Δια τρία.pngΤο τραπέζιο , έχει βάσεις : και : . Να κατασκευαστεί τμήμα παράλληλο

προς τις βάσεις του τραπεζίου , με την εξής ιδιότητα : Αν : είναι τα σημεία τομής του με τις διαγωνίους

αντίστοιχα , να ισχύει : . Υπολογίστε το καθένα από αυτά τα τρία τμήματα .

Δια τρία.png (19.35 KiB) Προβλήθηκε 203 φορές

.
Φέρνουμε την , όπου το μέσον της βάσης , και έστω ότι τέμνει την διαγώνιο στο . H παράλληλη της βάσης από το είναι η ζητούμενη. Πράγματι, είναι προφανές από το Θεώρημα Θαλή ότι , αφού είναι διάμεσος του τριγώνου .

Επίσης από Θαλή έχουμε

. Από αυτές, η πρώτη και η τελευταία δίνουν . Τελειώσαμε.

[Mihalis_Lambrou]

Δια τρία.pngΤο τραπέζιο , έχει βάσεις : και : . Να κατασκευαστεί τμήμα παράλληλο

προς τις βάσεις του τραπεζίου , με την εξής ιδιότητα : Αν : είναι τα σημεία τομής του με τις διαγωνίους

αντίστοιχα , να ισχύει : . Υπολογίστε το καθένα από αυτά τα τρία τμήματα .

Δια τρία 2.png (26.9 KiB) Προβλήθηκε 185 φορές

.
Αλλιώς. Προεκτείνουμε τις πλάγιες πλευρές μέχρι να τμηθούν στο . Χωρίζουμε την βάση σε τρία ίσα μέρη . Τα σημεία όπου οι τέμνουν τις διαγώνιες ορίζουν την ζητούμενη ευθεία . Πράγματι, εύκολα βλέπουμε (αλλά αφήνω τις λεπτομέρειες ως σχεδόν άμεσες) ότι από πολλαπλή εφαρμογή του Θαλή έπεται ότι .

[duamba]

Το συγκεκριμένο πρόβλημα υπάρχει και στο όμορφο παιχνίδι γεωμετρικών κατασκευών Euclidea (είναι το 9.6).
Βάζω την ενδεδειγμένη ως συντομότερη κατασκευή (3 γραμμές) και υπολογίζω το αφήνωντας την απόδειξη της ισότητας των τμημάτων.

diatria.png (30.46 KiB) Προβλήθηκε 161 φορές

Βρίσκω το συμμετρικό του ως προς και φέρνω την που τέμνει την στο και την που τέμνει την στο . H προέκταση του είναι το ζητούμενο τμήμα.

Έστω
Απο το θεώρημα Μενελάου στο με διατέμνουσα την ισχύει:


Όμως και .

Επίσης και απο την ομοιότητα των και .

Άρα

[Mihalis_Lambrou]

Το συγκεκριμένο πρόβλημα υπάρχει και στο όμορφο παιχνίδι γεωμετρικών κατασκευών Euclidea (είναι το 9.6).

.
Μπορείς σε παρακαλώ να μας πεις περισσότερα για το παιχνίδι αυτό; Πού θα το βρούμε; Τι ακριβώς κάνει;
.

Βάζω την ενδεδειγμένη ως συντομότερη κατασκευή (3 γραμμές) και υπολογίζω το αφήνωντας την απόδειξη της ισότητας των τμημάτων.

.
Μου κάνει εντύπωση που ονομάζεις την κατασκευή σου "ενδεδειγμένη ως συντομότερη". Οι δύο κατασκευές που ανάρτησα είναι εξ ίσου σύντομες αν όχι συντομότερες. Π.χ. η πρώτη ουσιαστικά λέει

Βρίσκω το μέσον της βάσης. Το συνδέω με τις πάνω κορυφές. Εκεί που τέμνουν τις διαγώνιες είναι τα ζητούμενα σημεία.

Εξ ίσου εύκολη η δεύτερη, που λέει

Χωρίζω την βάση στα τρία. Συνδέω τα σημεία αυτά με το σημείο τομής των μη παράλληλων πλευρών. Εκεί που τέμνουν τις διαγώνιες είναι τα ζητούμενα σημεία.

[duamba]

Μπορείς σε παρακαλώ να μας πεις περισσότερα για το παιχνίδι αυτό; Πού θα το βρούμε; Τι ακριβώς κάνει;

Είναι ένα παιχνίδι γεωμετρικών κατασκευών με κανόνα και διαβήτη που μπορεί κάποιος να παίξει online σε browser εδώ ή στο κινητό του αν το κατεβάσει απο τα απανταχού "stores".

Το παιχνίδι είναι σαν ένα απλό περιβάλλον διαδραστικής γεωμετρίας με ελάχιστα εργαλεία.
Κάθε "πίστα" είναι ένα κατασκευαστικό πρόβλημα, για παράδειγμα το πρώτο είναι η κατασκευή ενός ισόπλευρου τριγώνου.

Ο λόγος που μιλάω για σύντομη λύση είναι οτι στο παιχνίδι αυτό κάθε γραμμή "χρεώνεται". Ο κανόνας και ο διαβήτης χρεώνονται με έναν "πόντο". Όμως η μεσοκάθετος χρεώνεται με τρεις "πόντους" γιατί για να κατασκευαστεί χρειάζεται δύο κύκλους και μια ευθεία. Η εφαρμογή προοδευτικά δίνει και άλλα εργαλεία, π.χ. μεσοκάθετο, παράλληλη, κλπ όμως η χρήση τους χρεώνεται αντίστοιχα, για παράδειγμα ο σταθερός διαβήτης χρεώνεται με 5 γραμμές.

Ομολογουμένως τα περισσότερα προβλήματα είναι πολύ απλά, ειδικά για έναν μαθηματικό, όμως η πρόκληση του να λύσεις κάθε πρόβλημα με τις λιγότερες δυνατές γραμμές ίσως να δίνει ένα ενδιαφέρον.

Νομίζω πως για να προχωρήσεις "πίστες" χωρίς να χρησιμοποιήσεις τις ελάχιστες γραμμές μπορεί να ζητηθεί κάποιο αντίτιμο, 1 ή 2 ευρώ, ομολογώ οτι τα έχω δώσει και τα έχω χαρεί απεριόριστα.
Το βρίσκω απολαυστικότατο και το θεωρώ χρήσιμο στο να συμπαθήσουν οι νεότεροι την γεωμετρία (και γιατί όχι τα μαθηματικά γενικότερα).

[Mihalis_Lambrou]

Είναι ένα παιχνίδι γεωμετρικών κατασκευών με κανόνα και διαβήτη που μπορεί κάποιος να παίξει online σε browser εδώ ή στο κινητό του αν το κατεβάσει απο τα απανταχού "stores".

Φαίνεται ενδιαφέρον. Ευχαριστούμε.

Το πρόβλημα είναι ότι είναι όλα κλειδωμένα. Η μόνη κατασκευή που μου επέτρεπε να κάνω είναι η (τετριμμένη) της κατασκευής ισοπλεύρου τριγώνου, παρ' όλο που έκανα Registration. Κάνω κάτι λάθος;

[duamba]

Όντως και μένα στον browser δεν βλέπω να με αφήνει να προχωρήσω σε κλειδωμένο επίπεδο, στην εφαρμογή του κινητού όμως με αφήνει.

[duamba]

Παρεμπιπτόντως όπως με διαφώτισε ο με π.μ., για την δεύτερη λύση του προβλήματος (το παράλληλο τμήμα κοντύτερα στο ) ο τύπος είναι:

[KARKAR]

δια τρία συμπλ.png (14.02 KiB) Προβλήθηκε 66 φορές

Όπως διαπιστώνεται από τα παραπάνω , το πρόβλημα έχει δύο λύσεις , από τις οποίες η λύση του , δίνει

και τον υπολογισμό του στην μία περίπτωση . Οι λύσεις του Μιχάλη αν συνεχιστούν οδηγούν στο ίδιο συμπέρασμα .

Ένας άλλος υπολογισμός του . Είναι : , άρα : .

Συνεπώς : , οπότε : .

[Mihalis_Lambrou]

... το πρόβλημα έχει δύο λύσεις ...

Δια τρία 3.png (22.43 KiB) Προβλήθηκε 41 φορές

.
Σωστά.

Στις λύσεις που έγραψα στα ποστ #2 και #3 έγραψα μόνο την μία εκδοχή, ακολουθώντας το αρχικό σχήμα του Θανάση. Παράλειψή μου, οπότε συμπληρώνω:

Για παράδειγμα στην λύση στο ποστ #3 είναι φανερό ότι οι κόκκινες γραμμές τέμνουν τις διαγώνιες και στα σημεία , εκτός από τα . Έτσι, η πράσινη γραμμή είναι η (δεύτερη) ζητούμενη.

Η λύση στο ποστ #2 επίσης συμπληρώνεται με ανάλογο άμεσο τρόπο.