Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 24

[giannimani]

Τα σημεία και ανήκουν στο εσωτερικό του κύκλου . Η μεσοκάθετος του ευθύγραμμου
τμήματος τέμνει τον κύκλο στα σημεία και . Ο κύκλος κέντρου που διέρχεται από
τα και , τέμνει τον κύκλο στα σημεία και . Το ευθύγραμμο τμήμα ανήκει στο εσωτερικό
του τριγώνου . Να αποδείξετε ότι .
(Πηγή: Περιοδικό KVANT)

equal_angles.png (68.58 KiB) Προβλήθηκε 369 φορές

[rek2]

Η ισότητα γωνιών αναλύεται στην



Με αντικατάσταση σε αυτήν των προφανών

και

προκύπτει το ζητούμενο

[giannimani]

Έστω ότι ο κύκλος κέντρου τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα στο σημείο .
Τότε, εφόσον οι χορδές , του κύκλου είναι ίσες (ως ακτίνες του κύκλου κέντρου ),
θα είναι , δηλαδή, η διχοτόμος της γωνίας .
Από την άλλη πλευρά, , οπότε το είναι το έγκεντρο του
(χαρακτηριστική ίδιότητα του έγκεντρου - θεώρημα τρίαινας).

Επομένως, .
Αλλά, είναι προφανές ότι , οπότε
.