Δύο ίσες γωνίες

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 22, 2023 12:01 pm
Δύο ίσες γωνίες .png

Έστω $ABC\,\,$ ένα οξυγώνιο τρίγωνο. Αν $\,\,P,\,\,Q\,\,$ σημεία των πλευρών $AB\,\,$ και $AC\,\,$ αντίστοιχα, έτσι ώστε $PQ\,\,||BC\,\,$ ,

$\,\,AD\bot BC\,\,$ , $M\,\,$ μέσο του $\,\,PQ\,\,$ και $\displaystyle \left\{ J \right\}=DM\cap \left( A,P,Q \right)\,\,$ με $\,\,J\,\,$ εντός του

$\,\,\vartriangle ABC\,\,$ , να αποδειχθεί ότι $\,\,\measuredangle AJB=\measuredangle AJC$ .

Έστω $PJ \cap BC=E$ και $QJ \cap BC=N$ .

Επειδή $\dfrac{PM}{MQ} =1$ είναι (θ.κδέσμης) $\dfrac{ND}{DE}=1$ επομένως

μεσοκάθετη της

οπότε $\angle ANE= \angle AEN$ (μπλε)

Είναι $\angle JEB= \angle JPQ= \angle JAQ \Rightarrow AJEC$ είναι εγγράψιμμο κι αν η

κόψει τον

κύκλο (A,J,E,C)

στο

θα είναι $\angle SJC= \angle L$ (μπλε)

Επειδή $\angle BNQ= \angle PQN= \angle PAJ$ (ροζ γωνίες ),το AJBN

είναι εγγράψιμμο,άρα $\angle BJS= \angle L$ (δηλ μπλε)

Άρα τα παραπληρώματα των μπλε γωνιών BJS,SJC

θα είναι ίσα και το ζητούμενο αποδείχτηκε

: δυο ίσες γωνίες.png (54.53 KiB) Προβλήθηκε 771 φορές

#3

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 23, 2023 5:23 pm

orestisgotsis έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 22, 2023 12:01 pm
Δύο ίσες γωνίες .png

Έστω $ABC\,\,$ ένα οξυγώνιο τρίγωνο. Αν $\,\,P,\,\,Q\,\,$ σημεία των πλευρών $AB\,\,$ και $AC\,\,$ αντίστοιχα, έτσι ώστε $PQ\,\,||BC\,\,$ ,

$\,\,AD\bot BC\,\,$ , $M\,\,$ μέσο του $\,\,PQ\,\,$ και $\displaystyle \left\{ J \right\}=DM\cap \left( A,P,Q \right)\,\,$ με $\,\,J\,\,$ εντός του

$\,\,\vartriangle ABC\,\,$ , να αποδειχθεί ότι $\,\,\measuredangle AJB=\measuredangle AJC$ .
Έστω $PJ \cap BC=E$ και $QJ \cap BC=N$ .

Επειδή $\dfrac{PM}{MQ} =1$ είναι (θ.κδέσμης) $\dfrac{ND}{DE}=1$ επομένως μεσοκάθετη της οπότε $\angle ANE= \angle AEN$ (μπλε)

Είναι $\angle JEB= \angle JPQ= \angle JAQ \Rightarrow AJEC$ είναι εγγράψιμμο κι αν η κόψει τον

κύκλο στο θα είναι $\angle SJC= \angle L$ (μπλε)

Επειδή $\angle BNQ= \angle PQN= \angle PAJ$ (ροζ γωνίες ),το είναι εγγράψιμμο,άρα $\angle BJS= \angle L$ (δηλ μπλε)

Άρα τα παραπληρώματα των μπλε γωνιών θα είναι ίσα και το ζητούμενο αποδείχτηκε

δυο ίσες γωνίες.png

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

#5

orestisgotsis έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 22, 2023 12:01 pm
Δύο ίσες γωνίες .png

Έστω $ABC\,\,$ ένα οξυγώνιο τρίγωνο. Αν $\,\,P,\,\,Q\,\,$ σημεία των πλευρών $AB\,\,$ και $AC\,\,$ αντίστοιχα, έτσι ώστε $PQ\,\,||BC\,\,$ ,

$\,\,AD\bot BC\,\,$ , $M\,\,$ μέσο του $\,\,PQ\,\,$ και $\displaystyle \left\{ J \right\}=DM\cap \left( A,P,Q \right)\,\,$ με $\,\,J\,\,$ εντός του

$\,\,\vartriangle ABC\,\,$ , να αποδειχθεί ότι $\,\,\measuredangle AJB=\measuredangle AJC$ .

Ας είναι

το σημείο τομής των $AM\,,\,BC$ . Προφανώς το

είναι το μέσο του

.

Ας είναι δε και

το σημείο τομής της

με την

. Αρκεί να δείξω ότι η

είναι διχοτόμος της $\widehat {BJC}$ .

Γράφω τον κύκλο , $\left( {J,B,C} \right)$ , κέντρου

και την κάθετη στο

επί την $\overline {AJT}$ και τέμνει την ευθεία

στο

.

Το

είναι απόστημα άρα το σημείο τομής,

της ημιευθείας

με τον κύκλο $\left( {J,B,C} \right)$ είναι ο νότιος πόλος

.

: Δύο γωνίες ισες.png (61.61 KiB) Προβλήθηκε 682 φορές

Στο τετράπλευρο AJDE

, τα

βλέπουν την πλευρά

υπό ίσες και μάλιστα ορθές γωνίες , άρα ανήκουν σε ημικύκλιο διαμέτρου

και κέντρου

.

Επίσης και το σημείο

ανήκει σε ημικύκλιο διαμέτρου

και κέντρου

.

Επειδή η διάκεντρος

είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής

των ημικυκλίων ,

επί πλέον δε είναι παράλληλος με την

, ενώ διέρχεται από το μέσο

της

, η

θα διέρχεται από το

.

Δηλαδή η

είναι διχοτόμος της $\widehat {BJC}$ , έτσι $\widehat {\omega _{}^{}} = \widehat {\theta _{}^{}}$ , άρα και οι παραπληρωματικές τους είναι ίσες .

Δύο ίσες γωνίες

Δύο ίσες γωνίες

Re: Δύο ίσες γωνίες

Re: Δύο ίσες γωνίες

Re: Δύο ίσες γωνίες

Re: Δύο ίσες γωνίες

Μέλη σε σύνδεση