Ισόπλευρο και σχέση ριζών

#1

: Ισόπλευρο και σχέση ριζών.png (20.55 KiB) Προβλήθηκε 622 φορές

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ABC

εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω τυχόν σημείο

του μικρού τόξου $\overset\frown{AB}.$

Στις προεκτάσεις των AS, BS

θεωρώ τα σημεία A', B'

αντίστοιχα, ώστε A'B'||AB.

Αν η

επανατέμνει

τον περίκυκλο του SA'B'

στο

να δείξετε ότι $\displaystyle \sqrt {AS \cdot AA'} + \sqrt {BS \cdot BB'} = \sqrt {CS \cdot CC'}$

Henri van Aubel · #2

$\bullet$ Είναι $S\widehat{A}B=S\widehat{A{'}}B{'}$ και $A\widehat{S}B=A{'}\widehat{S}B{'}$ άρα $\displaystyle \vartriangle ASB\sim \vartriangle A{'}SB{'}\Longrightarrow \frac{AS}{A{'}S}=\frac{AB}{A{'}B{'}}=k$

Με όμοιο τρόπο $\displaystyle\frac{BS}{B{'}S}=\frac{CS}{C{'}S}=k$ Οπότε η αποδεικτέα γράφεται :

$\displaystyle \sqrt{AS\cdot \left ( AS+\frac{AS}{k} \right )}+\sqrt{BS\cdot \left ( BS+\frac{BS}{k} \right )}=\sqrt{CS\cdot \left ( CS+\frac{CS}{k} \right )}\Longleftrightarrow$

$\Longleftrightarrow AS+BS=CS$ που είναι άμεσα πόρισμα του Θ. Πτολεμαίου εφόσον ABC

ισόπλευρο.

Ισόπλευρο και σχέση ριζών

Ισόπλευρο και σχέση ριζών

Re: Ισόπλευρο και σχέση ριζών

Μέλη σε σύνδεση