Ισοσκελές μέσα σε σκαληνό

#1

: Ισοσκελές μέσα σε σκαληνό.png (16.56 KiB) Προβλήθηκε 818 φορές

Δίνεται οξυγώνιο και σκαληνό τρίγωνο ABC

με ορθόκεντρο

Τα ύψη που άγονται από τις κορυφές B, C

τέμνουν

τη διχοτόμο της $\widehat A$ στα D, E

αντίστοιχα. Αν οι εφαπτόμενες στον περίκυκλο του DEH

στα σημεία D, E

τέμνονται

στο

να δείξετε ότι BT=CT.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 10, 2022 10:48 am
Ισοσκελές μέσα σε σκαληνό.png
Δίνεται οξυγώνιο και σκαληνό τρίγωνο με ορθόκεντρο Τα ύψη που άγονται από τις κορυφές τέμνουν

τη διχοτόμο της $\widehat A$ στα αντίστοιχα. Αν οι εφαπτόμενες στον περίκυκλο του στα σημεία τέμνονται

στο να δείξετε ότι

Έστω $P\equiv DT\cap AC$ ,

το ίχνος του ύψους από το

και $N\equiv DE\cap HT$ και προφανώς A,F,H,M

σημεία κύκλου διαμέτρου

(λόγω των ορθών απέναντι γωνιών).

Είναι $\angle EDT\overset{\upsilon \pi o\,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \varsigma ...}{\mathop{=}}\,\angle DHE\equiv \angle MHE$ $\overset{A,M,H,F\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle FAP\overset{AD\,\,\delta \iota \chi o\tau o\mu o\varsigma }{\mathop{=}}\,2\left( \angle DAP \right)\overset{\angle EDT\equiv \angle EDP=\angle DAP+\angle DPA}{\mathop{\Rightarrow }}\,\angle DAP=\angle DPA$ και συνεπώς το τρίγωνο $\vartriangle DAP$ είναι ισοσκελές και με $DM\bot AP\Rightarrow DM$ μεσοκάθετη της $AP\Rightarrow \vartriangle ABP$ ισοσκελές $\left( BA=BP \right)\overset{BM\bot AP}{\mathop{\Rightarrow }}\,\angle PBH\equiv \angle PBM=\angle MBA=\angle ACF\equiv \angle PCB$ , άρα τα σημεία B,H,P,C

είναι ομοκυκλικά.

: Ισοσκελές μέσα σε σκαλινό.png (35.95 KiB) Προβλήθηκε 801 φορές

Επίσης $\angle HDE=\angle ADM={{90}^{0}}-\left( \angle DAM \right)=$ ${{90}^{0}}-\left( \angle DAB \right)={{90}^{0}}-\left( \angle EAF \right)=\angle DEH\Rightarrow HD=HE\overset{TD=TE}{\mathop{\Rightarrow }}\,HDTE$ χαρταετός οπότε

μεσοκάθετη και διχοτόμος της $\angle DTE\Rightarrow \angle DTH={{90}^{0}}-\angle EDT=$ ${{90}^{0}}-\angle A=\angle HBA=\angle HBP\Rightarrow$ H,T,P,B

ομοκυκλικά.

Από τις ομοκυκλικές τετράδες B,H,P,C

και

με τρία κοινά σημεία $\left( B,H,P \right)$ προκύπτει η ομοκυκλικότητα των B,H,T,P,C

οπότε $\angle TBC=\angle THC\overset{HT\,\,\delta \iota \chi o\tau o\mu o\varsigma \,\,\tau \eta \varsigma \,\,\angle EHD\left( \alpha \pi o\,\,\chi \alpha \rho \tau \alpha \varepsilon \tau o \right)}{\mathop{=}}\,\angle THD=$ $\angle TCB\Rightarrow TB=TC$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 10, 2022 10:48 am
Ισοσκελές μέσα σε σκαληνό.png
Δίνεται οξυγώνιο και σκαληνό τρίγωνο με ορθόκεντρο Τα ύψη που άγονται από τις κορυφές τέμνουν

τη διχοτόμο της $\widehat A$ στα αντίστοιχα. Αν οι εφαπτόμενες στον περίκυκλο του στα σημεία τέμνονται

στο να δείξετε ότι

Είναι $\angle CHZ= \angle TDE= \angle TED= \angle A$ , άρα $\angle DPA= \dfrac{A}{2}$

Ακόμη, $\angle HDE=90^0- \dfrac{A}{2}$ άρα $\angle DEH=90^0- \dfrac{A}{2}$ και HD=HE

συνεπώς

χαρταετός,άρα $\angle DHT= \angle THE= \angle DPA= \dfrac{A}{2}$ και το TPCH

είναι εγγράψιμμο

είναι μεσοκάθετη της

άρα $\angle HAD= \angle DPH= \angle TCH$ κι επειδή

$\angle FAH= \angle HCB \Rightarrow \angle TCB= \angle BAE= \dfrac{A}{2} \Rightarrow \angle TCN= \angle A$

και E,T,C,N

ομοκυκλικά άρα $\angle NTC= \angle NEC=90^0- \dfrac{A}{2} \Rightarrow NT \bot BC$

κι επειδή

διχοτόμος, θα είναι μεσοκάθετη της

άρα

: Ισοσκελές μέσα σε σκαληνό.png (30.77 KiB) Προβλήθηκε 725 φορές

#4

Ευχαριστώ και πάλι τους Στάθη και Μιχάλη και να πω απλώς ότι η άσκηση
είναι από την Μαθηματική Ολυμπιάδα της Αυστραλίας- 2022.

Ισοσκελές μέσα σε σκαληνό

Ισοσκελές μέσα σε σκαληνό

Re: Ισοσκελές μέσα σε σκαληνό

Re: Ισοσκελές μέσα σε σκαληνό

Re: Ισοσκελές μέσα σε σκαληνό

Μέλη σε σύνδεση