Περιγράψιμο πεντάγωνο

KARKAR · #1

: Περιγράψιμο πεντάγωνο.png (16.54 KiB) Προβλήθηκε 634 φορές

Οι κύκλοι : (O,3)

και

, έχουν διάκεντρο : OK=5

, "βόρειο" εφαπτόμενο τμήμα , το

και "νότιο"

σημείο τομής , το

. Εξετάστε αν το πεντάγωνο ABKSO

είναι περιγράψιμο σε κύκλο , ( ας τον πούμε )

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 15, 2022 7:31 pm
Περιγράψιμο πεντάγωνο.pngΟι κύκλοι : και , έχουν διάκεντρο : , "βόρειο" εφαπτόμενο τμήμα , το και "νότιο"

σημείο τομής , το . Εξετάστε αν το πεντάγωνο είναι περιγράψιμο σε κύκλο , ( ας τον πούμε ) .

Η παράλληλη από το

στην

τέμνει την

στο

Είναι

άρα $AB=2\sqrt 6.$

Έστω

το περίκεντρο του ABS.

Θα δείξω ότι οι διχοτόμοι των γωνιών του πενταγώνου διέρχονται από το

: Περιγράψιμο πεντάγωνο.png (41.26 KiB) Προβλήθηκε 565 φορές

Τα

είναι χαρταετοί και ως εκ τούτου οι OQ, KQ

διχοτομούν τις $A\widehat OS, B\widehat KS$ αντίστοιχα.

$\displaystyle A\widehat QS = 2A\widehat BS = 2(90^\circ - S\widehat BK) = 2B\widehat KQ = B\widehat KS$ και ομοίως $B\widehat QS= A\widehat OS,$ άρα τα ισοσκελή

τρίγωνα AOS, BQS

είναι όμοια, όπως και τα AQS, BKS.

Οπότε, $\displaystyle \frac{3}{{QS}} = \frac{{AS}}{{BS}} = \frac{{QS}}{4} \Leftrightarrow QS = 2\sqrt 3 .$

Με το αντίστροφο του Πυθαγορείου διαπιστώνω ότι το QAB

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και εύκολα τώρα προκύπτει

ότι οι AQ, BQ, SQ

διχοτομούν και τις άλλες γωνίες του πενταγώνου.

Περιγράψιμο πεντάγωνο

Περιγράψιμο πεντάγωνο

Re: Περιγράψιμο πεντάγωνο

Μέλη σε σύνδεση