Χλωμή μεγιστοποίηση

KARKAR · #1

: Χλωμή μεγιστοποίηση.png (12.92 KiB) Προβλήθηκε 502 φορές

Το μεταβλητού μήκους ύψος

, τριγώνου ABC

, διαιρεί την σταθερή βάση

, σε

τμήματα : BD=d

και

. Φέρουμε και το ύψος

. (

το ορθόκεντρο ) .

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου HEC

και το τότε μήκος του ύψους

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 30, 2021 11:22 am
Χλωμή μεγιστοποίηση.pngΤο μεταβλητού μήκους ύψος , τριγώνου , διαιρεί την σταθερή βάση , σε

τμήματα : και . Φέρουμε και το ύψος . ( το ορθόκεντρο ) .

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου και το τότε μήκος του ύψους .

Έστω

: Χλωμή μεγιστοποίηση.png (12 KiB) Προβλήθηκε 467 φορές

Ισχύουν οι σχέσεις: $\displaystyle b = \sqrt {{x^2} + 4{d^2}} ,BE \cdot b = x \cdot 3d \Rightarrow$ $\boxed{BE = \frac{{3xd}}{{\sqrt {{x^2} + 4{d^2}} }}}$ (1)

$\displaystyle BH \cdot BE = 3{d^2} \Leftrightarrow (BE - HE)BE = 3{d^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{HE = \frac{{2d({x^2} - 2{d^2})}}{{x\sqrt {{x^2} + 4{d^2}} }}}$ (2)

$\displaystyle EC = \sqrt {9{d^2} - B{E^2}} \mathop = \limits^{(1)} \frac{{6d}}{{\sqrt {{x^2} + 4{d^2}} }}$ και από την (2),

$\boxed{(HEC) = \frac{{HE \cdot EC}}{2} = \frac{{6{d^2}({x^2} - 2{d^2})}}{{x({x^{}} + 4{d^2})}}}$

Με παραγώγους τώρα βρίσκω $\boxed{ {(HEC)_{\max }} = \frac{{3(\sqrt {33} - 1){d^2}}}{{4\sqrt {5 + \sqrt {33} } }}}$ όταν $\boxed{ AD =x= d\sqrt {5 + \sqrt {33} }}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 30, 2021 11:22 am
Χλωμή μεγιστοποίηση.pngΤο μεταβλητού μήκους ύψος , τριγώνου , διαιρεί την σταθερή βάση , σε

τμήματα : και . Φέρουμε και το ύψος . ( το ορθόκεντρο ) .

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου και το τότε μήκος του ύψους .

Ας είναι

η προβολή του

στη

. Προφανώς σε ημικύκλιο με διάμετρο το

ανήκει το

.

Θέτω $KC = k\,\,,\,k < 2d$ και $EK = y\,\,,\,\,HD = h$ .

Δείτε ότι το $\boxed{\left( {EHC} \right) = \left( {HDKE} \right) + \left( {EKC} \right) - \left( {HDC} \right)}\,\,\left( 1 \right)$ ,

ενώ το τετράπλευρο $\left( {HDKE} \right)$ είναι ορθογώνιο τραπέζιο. Επειδή :

$\left\{ \begin{gathered} y = \sqrt {k\left( {3d - k} \right)} \hfill \\ \frac{h}{y} = \frac{d}{{3d - k}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = \sqrt {k\left( {3d - k} \right)} \hfill \\ h = \frac{{yd}}{{3d - k}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ η $\left( 1 \right)$ γίνεται:

: Χλωμή Μεγιστοποίηση_κατασκευή_ok.png (17.89 KiB) Προβλήθηκε 432 φορές

$\left( {EHC} \right) = f(k) = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {y + h} \right)\left( {2d - k} \right) + ky - 2hd} \right]$ ή

$f(k) = \dfrac{{3d\left( {2d - k} \right)\sqrt {k\left( {3d - k} \right)} }}{{2\left( {3d - k} \right)}}$ με $f'\left( k \right) = \dfrac{{3d\left( {6{d^2} - 9dk + 2{k^2}} \right)\sqrt {k\left( {3d - k} \right)} }}{{4k{{\left( {3d - k} \right)}^2}}}$ , και

βρίσκω ότι παρουσιάζει μέγιστο για $\boxed{k = d\frac{{9 - \sqrt {33} }}{4}}$ το

$\boxed{f\left( {d\frac{{9 - \sqrt {33} }}{4}} \right) = {d^2}\sqrt {\dfrac{{99\sqrt {33} - 531}}{{32}}} }$

Κατασκευή .

Κατασκευάζω το σημείο

σύμφωνα με τα παραπάνω , φέρνω κάθετη στην

στο

και τέμνει το ημικύκλιο στο

.
Η

τέμνει στο

την εις το

κάθετη στην

.

β) Επειδή $\boxed{\frac{{AD}}{y} = \frac{{2d}}{k} \Rightarrow AD = \frac{{2yd}}{k} = d\sqrt {\sqrt {33} + 5} }$

Χλωμή μεγιστοποίηση

Χλωμή μεγιστοποίηση

Re: Χλωμή μεγιστοποίηση

Re: Χλωμή μεγιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση