Διέρχεται από το κέντρο

#1

: Διέρχεται από το κέντρο.β.png (16.97 KiB) Προβλήθηκε 1007 φορές

είναι μια τυχούσα χορδή ενός ημικυκλίου διαμέτρου

και

είναι το σημείο τομής των AC, BD.

Γράφω τον

περίκυκλο του PCD

και έστω

τυχόν σημείο του κύκλου. Αν οι CM, DP

τέμνονται στο

και οι

στο

να δείξετε ότι η ευθεία

διέρχεται από το κέντρο του ημικυκλίου.

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 03, 2021 4:40 pm
Διέρχεται από το κέντρο.β.png
είναι μια τυχούσα χορδή ενός ημικυκλίου διαμέτρου και είναι το σημείο τομής των Γράφω τον

περίκυκλο του και έστω τυχόν σημείο του κύκλου. Αν οι τέμνονται στο και οι στο

να δείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από το κέντρο του ημικυκλίου.

Έστω

το ορθόκεντρο του PAB

. Είναι σχετικά(;) γνωστό ότι οι κύκλοι $(CHD)\equiv (CPD)$ και (ACDB)

είναι ορθογώνιοι, οπότε αφού το

είναι το κέντρο του δεύτερου κύκλου, προκύπτει ότι οι

και

είναι εφαπτομένες του κύκλου (CPD)

. Οπότε απο το θεώρημα Pascal

στο εκφυλισμένο εξάγωνο CCMDDP

προκύπτει ότι τα σημεία $O\equiv CC \cap DD$ , $S\equiv CM\cap DP$ και $T\equiv MD\cap PC$ είναι συνευθειακά και το ζητούμενο αποδείχθηκε.

giannimani · #3

: Pas_thr_mid.png (54.62 KiB) Προβλήθηκε 943 φορές

Έστω $H=AD \cap BC$ . Προφανώς το

ορθόκεντρο του $\vartriangle PAB$ .
Επομένως, ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle PCD$ .
Στη συνέχεια, οι

,

εφαπτομένες αυτού του κύκλου (π.χ για την

προκύπτει
από την ισότητα των κίτρινων γωνιών στο σχήμα).
Το ζητούμενο προκύπτει με εφαρμογή του θεωρήματος Pascal στο CMDDPC

.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 03, 2021 4:40 pm
Διέρχεται από το κέντρο.β.png
είναι μια τυχούσα χορδή ενός ημικυκλίου διαμέτρου και είναι το σημείο τομής των Γράφω τον

περίκυκλο του και έστω τυχόν σημείο του κύκλου. Αν οι τέμνονται στο και οι στο

να δείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από το κέντρο του ημικυκλίου.

Γεια σας,

Κρατάμε A,B,C,D

σταθερά, θα δείξω το ζητούμενο για κάθε

στον μπλε κύκλο.
Κουνάμε το

(στον κύκλο) οπότε $M\rightarrow DM\rightarrow T$ προβολικότητα και $M\rightarrow CM\rightarrow S$ προβολικότητα.
Οπότε αρκεί να ισχύει για τρεις θέσεις σου

, παίρνουμε M=C,D

οπότε αρκεί οι δύο κύκλοι να είναι ορθογώνιοι που βγαίνει με γωνίες και για M=P

είναι $M\equiv T\equiv S$ .

#5

Αν φέρω στο

την εφαπτομένη του κύκλου P,C,D

θα είναι : $\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {PCD}$ ( από χορδή κι εφαπτομένη ) και $\widehat {PCD} = \widehat {ABP}$ ( εξωτερική σε εγγεγραμμένο τετράπλευρο)

Άρα

$\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {ABP}$ , συνεπώς η πιο πάνω εφαπτομένη ευθεία είναι παράλληλη στην

.

Έτσι τώρα αν

το κέντρο του κύκλου P,C,D

θα είναι $PK \bot AB$ και θα διέρχεται από το ορθόκεντρο

του $\vartriangle PAB$ , το δε

είναι σημείο του κύκλου.

Επειδή από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABDC

$\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_1}}$ και από το ισοσκελές τρίγωνο $\vartriangle OBC$ , $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_3}}$

: Διέρχεται απο το κέντρο.png (38.89 KiB) Προβλήθηκε 919 φορές

θα είναι $\boxed{\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}}$ που μας εξασφαλίζει ότι η

εφάπτεται του κύκλου P,C,D

ομοίως δε και η

.

Μετά απ’ αυτά αν

το σημείο τομής των $CD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PM$ , η πολική του

ως προς τον κύκλο P,C,D

θα είναι η χορδή των επαφών δηλαδή η

και θα διέρχεται από το

.

Αλλά η πολική του

ως προς τον ίδιο κύκλο είναι η

οπότε ( Θ $La\,Hire$ )

Τα σημεία S,T,O

ανήκουν στην ίδια ευθεία .

#6

Ας δούμε και μία πιο στοιχειώδη λύση.

Φέρνω TN||AB,

οπότε το

είναι εγγράψιμο και $\displaystyle T\widehat CN = T\widehat DN.$ Αλλά από το εγγεγραμμένο CDPM

είναι $\displaystyle M\widehat CP = M\widehat DP.$ Άρα τα B, P

είναι συζυγή αρμονικά των S,N

και κατά συνέπεια $\boxed{\frac{{PS}}{{PN}} = \frac{{BS}}{{BN}}}$ (1)

: Διέρχεται από το κέντρο.β1.png (19.21 KiB) Προβλήθηκε 829 φορές

Μενέλαος στο PAB

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {STO} ,$ $\displaystyle \frac{{AO}}{{OB}} \cdot \frac{{BS}}{{SP}} \cdot \frac{{PT}}{{PA}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{AO}}{{OB}} \cdot \frac{{BS}}{{SP}} \cdot \frac{{PN}}{{BN}} = 1\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{AO=OB}$

Διέρχεται από το κέντρο

Διέρχεται από το κέντρο

Re: Διέρχεται από το κέντρο

Re: Διέρχεται από το κέντρο

Re: Διέρχεται από το κέντρο

Re: Διέρχεται από το κέντρο

Re: Διέρχεται από το κέντρο

Μέλη σε σύνδεση