Διπλή προσπάθεια

KARKAR · #1

: Διπλή προσπάθεια.png (10.21 KiB) Προβλήθηκε 801 φορές

Στην προέκταση της διαμέτρου AB=2r

ενός κύκλου , θεωρούμε σημείο

και φέρουμε το εφαπτόμενο

τμήμα

. Αν

, υπολογίστε το τμήμα BS=d

. Για ευκολία στις πράξεις πάρτε : r=1

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 25, 2020 8:15 pm
Διπλή προσπάθεια.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου ενός κύκλου , θεωρούμε σημείο και φέρουμε το εφαπτόμενο

τμήμα . Αν , υπολογίστε το τμήμα . Για ευκολία στις πράξεις πάρτε : .

Ας είναι

η προβολή του

στη διάμετρο

. Θέτω

και ισχύει : TS = 2TA

Επειδή : $\widehat {{a_2}} = \widehat {{A_{}}}$ ( οξείες με πλευρές κάθετες) και $\widehat {{a_3}} = \widehat {{A_{}}}$ ( υπό χορδής κι εφαπτομένης)

θα είναι : $\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}$ και άρα στο τρίγωνο TKS

οι $TB\,\,,\,\,TA$ είναι διχοτόμοι εσωτερική και εξωτερική αντίστοιχα .

Η τετράδα $\left( {A,B\backslash K,S} \right)$ είναι αρμονική και άρα :

$\dfrac{{BK}}{{BS}} = \dfrac{{AK}}{{AS}} \Rightarrow \dfrac{x}{d} = \dfrac{{2R - x}}{{2R + d}} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{Rd}}{{R + d}}}\,\,\left( 1 \right)$

: Διπλή προσπάθεια.png (16.95 KiB) Προβλήθηκε 778 φορές

Επίσης επειδή η

εφαπτομένη και από το Θ. Ευκλείδη στο $\vartriangle TAB$ θα έχω:

$\left\{ \begin{gathered} T{S^2} = SB \cdot SA \hfill \\ T{A^2} = AK \cdot AB \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \dfrac{{T{S^2}}}{{T{A^2}}} = \dfrac{{d\left( {d + 2R} \right)}}{{\left( {2R - x} \right)2R}} \Rightarrow \boxed{4 = \frac{{d\left( {d + 2R} \right)}}{{\left( {2R - x} \right)2R}}}\,\,\,\left( 2 \right)$

Με «διώξιμο» του

μεταξύ των $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ έχω:

$d\left( {d + 2R} \right)\left( {d + R} \right) = 8{R^2}\left( {d + 2R} \right) \Rightarrow d\left( {d + R} \right) - 8{R^2} = 0 \Rightarrow {d^2} + Rd - 8{R^2} = 0$

Με δεκτή ρίζα : $\boxed{d = R\frac{{ - 1 + \sqrt {33} }}{2}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 25, 2020 8:15 pm
Διπλή προσπάθεια.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου ενός κύκλου , θεωρούμε σημείο και φέρουμε το εφαπτόμενο

τμήμα . Αν , υπολογίστε το τμήμα . Για ευκολία στις πράξεις πάρτε : .

$\displaystyle S{T^2} = SB \cdot SA \Leftrightarrow 4{x^2} = d(d + 2r) \Leftrightarrow$ $\boxed{d + 2r = \frac{{4{x^2}}}{d}}$ (1)

: Διπλή προσπάθεια.png (9.24 KiB) Προβλήθηκε 750 φορές

Ν. συνημιτόνου στο TAS,

$\displaystyle 4{x^2} = {x^2} + {(d + 2r)^2} - 2x(d + 2r)\frac{x}{{2r}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} 3{x^2} = \frac{{16{x^4}}}{{{d^2}}} - \frac{{4{x^4}}}{{rd}} \Leftrightarrow$

$\displaystyle 4{x^2}(4r - d) = 3r{d^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} {d^2} + rd - 8{r^2} = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{d > 0}$ $\boxed{d = \frac{r}{2}\left( {\sqrt {33} - 1} \right)}$

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 25, 2020 8:15 pm
Διπλή προσπάθεια.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου ενός κύκλου , θεωρούμε σημείο και φέρουμε το εφαπτόμενο

τμήμα . Αν , υπολογίστε το τμήμα . Για ευκολία στις πράξεις πάρτε : .

Απο το θεώρημα χορδής εφαπτομένης $\hat{BTS}=\omega =\hat{ATO}=\hat{OAT},d(d+2)=4x^{2},(1),r=1,$

Από την ομοιότητα των τριγώνων $TBS,TAS,\dfrac{2x}{d+2} =\dfrac{d}{2x}=\dfrac{TB}{x}\Rightarrow TB=\dfrac{d}{2},(2),TB^{2}+x^{2}=4,(3), (2),(3)\Rightarrow x^{2}=\dfrac{16-d^{2}}{4},(4), (1),(4)\Rightarrow d^{2}+d-8=0 \Rightarrow d=\dfrac{-1+\sqrt{33}}{2},r=1$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 25, 2020 8:15 pm
Διπλή προσπάθεια.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου ενός κύκλου , θεωρούμε σημείο και φέρουμε το εφαπτόμενο

τμήμα . Αν , υπολογίστε το τμήμα . Για ευκολία στις πράξεις πάρτε : .

Είναι, $\dfrac{2}{d} =\dfrac{(TBA)}{(TBS)}= \dfrac{2x}{2xTB} \Rightarrow TB= \dfrac{d}{2}$ και με Π.Θ στο TAB

έχουμε $4x^2=16-d^2=d(d+2) \Rightarrow d^2+d-8=0 \Rightarrow d= \dfrac{ \sqrt{33}-1 }{2}$ .

: Διπλή προσπάθεια.png (22.15 KiB) Προβλήθηκε 707 φορές

Διπλή προσπάθεια

Διπλή προσπάθεια

Re: Διπλή προσπάθεια

Re: Διπλή προσπάθεια

Re: Διπλή προσπάθεια

Re: Διπλή προσπάθεια

Μέλη σε σύνδεση